Как найти значения угла x, при которых sinx⋅tgx-(-1)sinx=0, где угол x принадлежит четвертому квадранту?

Artem_3918

41

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей!

Данное уравнение: \(\sin(x) \cdot \tan(x) - (-1) \cdot \sin(x) = 0\) нужно решить для значения угла \(x\), при котором оно выполняется. Учитывая, что угол \(x\) находится в четвертом квадранте, его значение будет между \(180^\circ\) и \(270^\circ\) (или между \(\pi\) и \(\frac{3\pi}{2}\) в радианах).

Давайте решим уравнение пошагово. Сначала заменим \(\tan(x)\) на \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\(\sin(x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} - (-1) \cdot \sin(x) = 0\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + \sin(x) = 0\)

Теперь домножим обе стороны на \(\cos(x)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(\sin^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0\)

Далее, заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\), используя тригонометрическую формулу:

\(1 - \cos^2(x) + \sin(x) \cos(x) = 0\)

Теперь приведем подобные члены и переформатируем уравнение:

\(-\cos^2(x) + \sin(x) \cos(x) + 1 = 0\)

Изменим знак каждого члена:

\(\cos^2(x) - \sin(x) \cos(x) - 1 = 0\)

Теперь давайте заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\), используя тригонометрическую формулу:

\(1 - \sin^2(x) - \sin(x) \cos(x) - 1 = 0\)

Упростим это уравнение:

\(-\sin^2(x) - \sin(x) \cos(x) = 0\)

Теперь вынесем общий множитель \(-\sin(x)\):

\(-\sin(x) (\sin(x) + \cos(x)) = 0\)

Учитывая, что \(-\sin(x) = 0\) будет выполняться только при \(\sin(x) = 0\), мы получаем первое возможное значение:

\(\sin(x) = 0\)

Далее, проверим вторую часть уравнения \((\sin(x) + \cos(x)) = 0\). Применим квадратную формулу для решения квадратного уравнения.

\[(\sin(x) + \cos(x))^2 = 0\]

Раскроем квадрат:

\(\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 0\)

При использовании тригонометрической формулы \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(1 + 2\sin(x)\cos(x) = 0\)

Теперь решим это уравнение:

\(2\sin(x)\cos(x) = -1\)

\(\sin(x)\cos(x) = -\frac{1}{2}\)

Из предыдущего уравнения мы знаем, что \(\sin(x) = 0\), так что рассмотрим случай \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\).

По определению тригонометрических функций, мы знаем, что \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\) и \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Но так как угол \(x\) находится в четвертом квадранте, значения тригонометрических функций будут отрицательными.

Таким образом, \(\sin(x) = 0\) при \(x = 180^\circ\) или \(x = \pi\), а \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) при \(x = 210^\circ\) или \(x = \frac{7\pi}{6}\).

Итак, значения угла \(x\), при которых уравнение \(\sin(x) \cdot \tan(x) - (-1) \cdot \sin(x) = 0\) выполняется в четвертом квадранте, равны \(x = 180^\circ\), \(x = \pi\), \(x = 210^\circ\) и \(x = \frac{7\pi}{6}\).

Надеюсь, этот подробный и пошаговый ответ поможет вам лучше понять процесс решения этой задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!