Как найти знаменатель арифмитической прогрессии, образованной квадратами трех различных действительных чисел?

Zolotoy_Klyuch

9

Для нахождения знаменателя арифметической прогрессии, образованной квадратами трех различных действительных чисел, давайте разберемся шаг за шагом.

Пусть заданные числа будут \(x\), \(y\) и \(z\). Таким образом, квадраты этих чисел будут равны \(x^2\), \(y^2\) и \(z^2\).

Дано, что эти числа образуют арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разница между каждым числом и следующим является постоянной величиной. Поэтому можно записать:

\[y^2 - x^2 = z^2 - y^2\]

Это уравнение возникло из разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Раскрыв скобки, мы получим:

\[y^2 - x^2 = z^2 - y^2\]
\[(y + x)(y - x) = (z + y)(z - y)\]
\[y^2 - x^2 = z^2 - y^2\]
\[y^2 - x^2 = z^2 - y^2\]
\[x^2 + z^2 = 2y^2\]

Теперь нам нужно найти среднее арифметическое квадратов чисел \(x^2\), \(y^2\) и \(z^2\), так как они образуют арифметическую прогрессию. Мы знаем, что среднее арифметическое двух чисел \(a\) и \(b\) равно \(\frac{a + b}{2}\).

Итак, среднее арифметическое квадратов \(x^2\), \(y^2\) и \(z^2\) равно:

\[\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3} = \frac{2y^2 + y^2}{3} = y^2\]

Таким образом, знаменатель арифметической прогрессии, образованной квадратами трех различных действительных чисел, равен \(y^2\).