Как определить, как изменится скорость цилиндров, если они связаны нерастяжимой нитью и могут скользить по вращающемуся

Дождь

37

Для определения того, как изменится скорость цилиндров в данной задаче, мы можем использовать законы сохранения импульса и момента импульса.

Изначально, когда система находится в покое, центральный стержень не вращается, и цилиндры находятся в состоянии покоя. Пусть \(v\) - скорость движения центрального стержня после того, как цилиндры начали скользить по нему.

Когда цилиндры начинают двигаться, начинают действовать моменты сил со стороны натяжения нити. Момент инерции цилинда относительно его оси вращения увеличивается, поэтому его скорость поворота должна уменьшаться, чтобы сохранить момент импульса системы.

С момента сохранения момента импульса, имеем:

\[
m_1 \cdot R_1 \cdot \omega_1 = (m_1 + m_2) \cdot R_2 \cdot \omega_2
\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы цилиндров, \(R_1\) и \(R_2\) - их радиусы, \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - их угловые скорости.

Используя соотношение между угловой скоростью \(\omega\) и линейной скоростью \(v\) (для цилиндра это равно \(V = R \cdot \omega\)), мы можем перейти от угловых скоростей к линейным:

\[
m_1 \cdot R_1 \cdot \frac{v}{R_1} = (m_1 + m_2) \cdot R_2 \cdot \frac{v}{R_2}
\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[
m_1 \cdot v = (m_1 + m_2) \cdot v
\]

\[
m_1 \cdot v - m_1 \cdot v = m_2 \cdot v
\]

\[
0 = m_2 \cdot v
\]

Из уравнения видно, что скорость цилиндров не изменится, и они продолжат двигаться с постоянной скоростью \(v\).

Таким образом, мы определили, что скорость цилиндров не изменится при их движении по вращающемуся стержню без трения.