Как определить угловое ускорение диска, имеющего массу m = 50 кг и радиус r = 0,3 м, если натяжение ведущей и ведомой

Plamennyy_Kapitan

22

Чтобы определить угловое ускорение диска, мы можем использовать закон вращательного движения Ньютона, который гласит:

\[ \tau = I \alpha \]

где \(\tau\) - момент силы, \(I\) - момент инерции диска относительно его оси вращения, и \(\alpha\) - угловое ускорение.

Для начала определим момент силы \(\tau\) на диск. Для этого воспользуемся натяжением ведущей и ведомой ветвей ремня.

Мы знаем, что натяжение ведущей ветви ремня (\(T_1\)) равно 100 Н, а натяжение ведомой ветви ремня (\(T_2\)) равно половине этого значения, то есть 50 Н.

Момент силы, создаваемой натяжением ведущей ветви ремня (\(\tau_1\)), можно посчитать, учитывая, что она прикладывает силу на расстоянии \(r\) от оси вращения. Таким образом:

\[ \tau_1 = T_1 \cdot r \]

Подставим значения:

\[ \tau_1 = 100 \, \text{Н} \times 0,3 \, \text{м} = 30 \, \text{Н} \cdot \text{м} \]

Аналогично, момент силы, создаваемый натяжением ведомой ветви ремня (\(\tau_2\)), будет:

\[ \tau_2 = T_2 \cdot r \]

Подставляем значения:

\[ \tau_2 = 50 \, \text{Н} \times 0,3 \, \text{м} = 15 \, \text{Н} \cdot \text{м} \]

Так как ремень нерастяжимый, то моменты силы должны быть равны:

\[ \tau_1 = \tau_2 \]

\[ 30 \, \text{Н} \cdot \text{м} = 15 \, \text{Н} \cdot \text{м} \]

Таким образом, создаваемые моменты сил равны. Мы можем использовать эту информацию для определения углового ускорения.

Подставляем значение момента силы в формулу Ньютона для вращательного движения:

\[ \tau = I \alpha \]

\[ 15 \, \text{Н} \cdot \text{м} = I \cdot \alpha \]

Радиус инерции \(I\) диска относительно его оси вращения может быть вычислено, используя известные данные массы (\(m\)) и радиуса (\(r\)) диска:

\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]

\[ I = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{кг} \times (0,3 \, \text{м})^2 \]

\[ I = 2,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]

Теперь, используя полученное значение момента инерции (\(I\)), мы можем выразить угловое ускорение (\(\alpha\)):

\[ 15 \, \text{Н} \cdot \text{м} = 2,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \alpha \]

Решая уравнение относительно \(\alpha\), получаем:

\[ \alpha = \frac{15 \, \text{Н} \cdot \text{м}}{2,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2} \]

\[ \alpha \approx 6,67 \, \text{рад/с}^2 \]

Итак, угловое ускорение диска составляет приблизительно \(6,67 \, \text{рад/с}^2\). Радиус инерции диска относительно его оси вращения равен \(2,25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\).