Как определить значения постоянных коэффициентов с0, с1, с2 и k в заданном уравнении движения маховика

Alina

11

Для определения значений постоянных коэффициентов \(c_0\), \(c_1\), \(c_2\) и \(k\) в заданном уравнении движения маховика \(ф = c_0 + c_1t + c_2e^{-kt}\), мы можем использовать данные о начальных условиях и предельных значениях угловой скорости.

Заданные начальные условия \(ф_0 = 0\) и \(w_0 = 0\) показывают, что угловая координата и угловая скорость маховика равны нулю при \(t = 0\). Это позволяет нам записать следующее:

\[ф_0 = c_0 + c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot e^{-k \cdot 0} = c_0 + c_2\]

\[w_0 = c_1 - c_2k \cdot e^{-k \cdot 0} = c_1 - c_2k\]

Теперь посмотрим на предельное значение угловой скорости \(w_{пр} = 50 \, с^{-1}\). В пределе, когда \(t\) стремится к бесконечности, мы ожидаем, что функция \(ф\) также стремится к константе. Следовательно, \(c_1\) должно быть равно нулю, а \(c_0 + c_2\) должно быть равно этой предельной константе. Мы можем записать это следующим образом:

\[w_{пр} = c_1 - c_2k = 0\]

Из этого уравнения мы можем выразить \(c_1\) через \(c_2\) следующим образом:

\[c_1 = c_2k\]

Теперь рассмотрим условие, что угловое ускорение при разгоне должно быть не больше \(Ен = 10 \, с^{-2}\). Угловное ускорение можно найти, взяв вторую производную по времени от функции \(ф\):

\[а = \dfrac{d^2ф}{dt^2} = 0 - (-c_2\cdot k^2 \cdot e^{-kt}) = c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-kt}\]

При \(t = 1 \, c\) мы можем записать ускорение следующим образом:

\[а_1 = c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-k \cdot 1}\]

Чтобы убедиться, что \(а_1\) не превышает \(Ен\), мы можем установить неравенство:

\[а_1 \leq Ен\]

\[c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-k} \leq 10\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из следующих уравнений:

\[c_0 + c_2 = w_{пр}\]
\[c_1 = c_2k\]
\[c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-k} \leq Ен\]

Чтобы найти значения постоянных коэффициентов \(c_0\), \(c_1\), \(c_2\) и \(k\), мы можем использовать численные методы, например, метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволят нам найти приближенные значения этих коэффициентов, удовлетворяющие заданным условиям.

Теперь давайте найдем ускорение точек на ободе маховика в момент времени \(t_1 = 1 \, с\), при условии, что радиус маховика \(R = 0.4\). Ускорение точек на ободе маховика можно найти, взяв вторую производную по времени от уравнения пути точек на ободе \(s\):

\[а_1 = \dfrac{d^2s}{dt^2}\]

Учитывая, что \(s = Rf\), мы можем записать это следующим образом:

\[а_1 = R \cdot \dfrac{d^2ф}{dt^2}\]

Теперь мы можем использовать ранее найденное ускорение \(а\) для определения \(а_1\) следующим образом:

\[а_1 = R \cdot а\]

Подставив \(а = c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-kt}\), получим:

\[а_1 = R \cdot c_2 \cdot k^2 \cdot e^{-kt}\]

Теперь, подставляя значения \(R = 0.4\), \(c_2\), \(k\) и \(t = 1\) в это уравнение, мы сможем найти ускорение точек на ободе маховика в момент времени \(t_1 = 1 \, с\).