Как переформулировать данный вопрос: Как изменить неравенство log4(6-6x)≥ log4(x^2-5x+4)-log4(x+3), не теряя

Zvezdnyy_Lis_7085

70

Чтобы переформулировать данное неравенство без потери значения и объема, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы.

1. Применим свойство логарифма: \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\). Применим это свойство к выражению в правой части неравенства.

\(\log_4(x^2-5x+4)-\log_4(x+3) = \log_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right)\)

2. Используем свойство логарифма: \(\log_a(b^n) = n\log_a(b)\), где \(n\) - целое число. Применяя это свойство к выражению в левой части неравенства, получаем:

\(\log_4(6-6x) = \log_4\left((6-6x)^1\right) = 1\cdot\log_4(6-6x)\)

3. Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны только в случае равенства их аргументов, мы можем переписать неравенство следующим образом:

\(1\cdot\log_4(6-6x) \geq \log_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right)\)

Теперь нам остается только переупорядочить это неравенство, чтобы избавиться от логарифмов.

4. Начнем с переноса всех элементов на одну сторону неравенства:

\(0 \geq \log_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right) - 1\cdot\log_4(6-6x)\)

5. Сделаем экспоненты обеих частей неравенства, используя основание логарифма 4:

\(0 \geq \frac{x^2-5x+4}{x+3} - (6-6x)\)

6. Упростим правую часть неравенства, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые:

\(0 \geq \frac{x^2-5x+4}{x+3} - 6 + 6x\)

\(0 \geq \frac{x^2-5x+4-6(x+3)}{x+3}\)

\(0 \geq \frac{x^2-5x+4-6x-18}{x+3}\)

\(0 \geq \frac{x^2-11x-14}{x+3}\)

Таким образом, мы переформулировали исходное неравенство без потери его значения и объема.