Как переформулировать данный вопрос: Как изменить неравенство log4(6-6x)≥ log4(x^2-5x+4)-log4(x+3), не теряя

Zvezdnyy_Lis_7085

70

Чтобы переформулировать данное неравенство без потери значения и объема, мы будем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы.

1. Применим свойство логарифма: ${\log }_a(b)-{\log }_a(c)={\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)$. Применим это свойство к выражению в правой части неравенства.

${\log }_4(x^2-5x+4)-{\log }_4(x+3)={\log }_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right)$

2. Используем свойство логарифма: ${\log }_a(b^n)=n{\log }_a(b)$, где $n$ - целое число. Применяя это свойство к выражению в левой части неравенства, получаем:

${\log }_4(6-6x)={\log }_4((6-6x{)}^1)=1\cdot {\log }_4(6-6x)$

3. Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны только в случае равенства их аргументов, мы можем переписать неравенство следующим образом:

$1\cdot {\log }_4(6-6x)\ge {\log }_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right)$

Теперь нам остается только переупорядочить это неравенство, чтобы избавиться от логарифмов.

4. Начнем с переноса всех элементов на одну сторону неравенства:

$0\ge {\log }_4\left(\frac{x^2-5x+4}{x+3}\right)-1\cdot {\log }_4(6-6x)$

5. Сделаем экспоненты обеих частей неравенства, используя основание логарифма 4:

$0\ge \frac{x^2-5x+4}{x+3}-(6-6x)$

6. Упростим правую часть неравенства, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые:

$0\ge \frac{x^2-5x+4}{x+3}-6+6x$

$0\ge \frac{x^2-5x+4-6(x+3)}{x+3}$

$0\ge \frac{x^2-5x+4-6x-18}{x+3}$

$0\ge \frac{x^2-11x-14}{x+3}$

Таким образом, мы переформулировали исходное неравенство без потери его значения и объема.