Как переформулировать выражение: ((a+9)/(a-9)-(a-9)/(a+9))/(18a^2/81-a^2)?

Волк

24

Для переформулирования данного выражения нам понадобится умножение на единицу в виде \((a+9)(a+9)/(a+9)(a+9)\) для первой части дроби и \((a-9)(a-9)/(a-9)(a-9)\) для второй части дроби, чтобы упростить выражение.

Давайте начнем:
\[
\frac{{\left(\frac{{a+9}}{{a-9}}\right)-\left(\frac{{a-9}}{{a+9}}\right)}}{{\frac{{18a^2}}{{81}}-a^2}}
\]

Перейдем к упрощению первой части выражения:
\[
\frac{{\frac{{(a+9)(a+9)}}{{(a-9)(a+9)}}-\frac{{(a-9)(a-9)}}{{(a+9)(a-9)}}}}{{\frac{{18a^2}}{{81}}-a^2}}
\]

Теперь мы можем преобразовать числитель и знаменатель:
\[
\frac{{(a+9)^2-(a-9)^2}}{{\frac{{18a^2}}{{81}}-a^2}}
\]

Продолжим раскрытие скобок:
\[
\frac{{a^2+18a+81-(a^2-18a+81)}}{{\frac{{18a^2}}{{81}}-a^2}}
\]

Теперь произведем соответствующие упрощения:
\[
\frac{{36a}}{{\frac{{18a^2}}{{81}}-a^2}}
\]

Следующим шагом упростим дробь в знаменателе:
\[
\frac{{36a}}{{\frac{{18a^2 - 81a^2}}{{81}}}}
\]

Вычислим разность:
\[
\frac{{36a}}{{-\frac{{63a^2}}{{81}}}}
\]

Упростим обратную дробь в знаменателе:
\[
\frac{{36a}}{{-\frac{{7a^2}}{{9}}}}
\]

Теперь можем упростить само выражение путем умножения числителя и знаменателя на \(-9/a\):
\[
\frac{{\frac{{36a}}{{1}}}}{{\frac{{-\frac{{7a^2}}{{9}}}}{{1}}}} \cdot \frac{{-9}}{{a}}
\]

Упрощаем дроби:
\[
\frac{{-324}}{{-7a}}=\frac{{324}}{{7a}}
\]

Таким образом, переформулированное выражение будет \(\frac{{324}}{{7a}}\). Надеюсь, этот ответ понятен и полезен для вас!