Как представить точку, полученную поворотом точки р(1,0) на следующие углы: а) π/6, б) 3π/4, в) π/8 + πk, где k

Игоревна

20

Чтобы представить точку, полученную поворотом точки \(P(1,0)\) на заданные углы, мы можем использовать геометрический подход, а именно - формулы поворота точки вокруг начала координат.

а) Поворот на угол \(\frac{\pi}{6}\):

Для этого угла, мы можем использовать следующую формулу поворота точки \(P(x,y)\) на угол \(\theta\) вокруг начала координат:

\[x" = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)\]
\[y" = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)\]

Подставим значения точки \(P(1,0)\) и угла \(\frac{\pi}{6}\) в формулы:

\[x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\]

Итак, точка, полученная поворотом точки \(P(1,0)\) на угол \(\frac{\pi}{6}\), равна \(Q\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)\).

б) Поворот на угол \(\frac{3\pi}{4}\):

Применяем те же формулы поворота:

\[x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, точка, полученная поворотом точки \(P(1,0)\) на угол \(\frac{3\pi}{4}\), равна \(Q\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

в) Поворот на угол \(\frac{\pi}{8} + \pi k \):

Этот угол можно представить в виде суммы фиксированного угла \(\frac{\pi}{8}\) и кратного числа \(\pi\). Поскольку угол \(\pi\) представляет собой полный оборот, обратите внимание, что любое значение \(k\) также будет давать нам поворот на \(180^\circ\). Таким образом, получим бесконечное количество точек на окружности.

Например, для \(k=0\), у нас будет поворот только на угол \(\frac{\pi}{8}\).
Подставим значения в формулы поворота:

\[x" = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - 0 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\]
\[y" = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + 0 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\]

Таким образом, точка, полученная поворотом точки \(P(1,0)\) на угол \(\frac{\pi}{8}\), равна \(Q\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right),\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)\).

Повторив этот же поворот с другими значениями \(k\), мы получим различные точки на окружности. Например, для \(k=1\), точка будет равна \(Q\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right),\sin\left(\frac{\pi}{8}+\pi\right)\right)\), и так далее.

Надеюсь, эти объяснения и формулы помогут вам понять, как представить точку, полученную поворотом точки \(P(1,0)\) на заданные углы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!