Как представить выражение 2*16^n+2^n*8^n+4^2n в виде степени с основанием, но изменить текст так, чтобы он имел

Хрусталь

10

Выражение \(2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 4^{2n}\) можно представить в виде степени с основанием. Давайте посмотрим, как это сделать.

Обратим внимание, что все три слагаемых имеют общую основу числа 2. Таким образом, мы можем преобразовать выражение, используя свойства степеней. Давайте начнем.

Перепишем \(16^n\) как \((2^4)^n\), так как \(16 = 2^4\). Используя свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), получим \((2^4)^n = 2^{4n}\).

Аналогично, можно переписать \(8^n\) как \((2^3)^n\), так как \(8 = 2^3\). Используя тот же принцип, получим \((2^3)^n = 2^{3n}\).

Теперь перепишем \(4^{2n}\). Заметим, что \(4 = 2^2\). Тогда можем записать \(4^{2n}\) как \((2^2)^{2n}\). Используя тот же принцип извлечения корня в степени, получим \((2^2)^{2n} = 2^{2 \cdot 2n} = 2^{4n}\).

Теперь мы можем заметить интересную особенность. Все три переписанных слагаемых равны \(2^{4n}\). Следовательно, изначальное выражение можно переписать как \(2 \cdot 2^{4n} + 2^{3n} \cdot 2^{4n} + 2^{4n}\).

Далее, мы можем объединить слагаемые, суммируя степени с одинаковым основанием 2. Получим следующее:

\[2 \cdot 2^{4n} + 2^{3n} \cdot 2^{4n} + 2^{4n} = 2^{1+4n} + 2^{3n+4n} + 2^{4n}\]

Теперь можем применить свойство сложения степеней с одинаковым основанием, получив:

\[2^{1+4n} + 2^{3n+4n} + 2^{4n} = 2^{1+4n+3n+4n} = 2^{8n+1}\]

Итак, выражение \(2 \cdot 16^n + 2^n \cdot 8^n + 4^{2n}\) может быть представлено в виде \(2^{8n+1}\) с основанием 2.

Это эквивалентное выражение содержит такую же информацию как и исходное, но записано в более компактной форме, что позволяет лучше видеть связь между слагаемыми и основанием степени.