Как решить уравнение -2log1/2(3cos2x - 2cos^2x+5) = 0? Опоздал с решением

Zvezdnyy_Lis_9160

57

Конечно, я помогу вам разобраться с этим уравнением.

Данное уравнение имеет вид \(-2\log_{\frac{1}{2}}(3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5) = 0\).

Для начала, давайте разберемся, что означает логарифм с основанием \(\frac{1}{2}\). Логарифм с основанием \(\frac{1}{2}\) можно переписать в эквивалентной форме через степень: \(\log_{\frac{1}{2}}(y) = -\log_{2}(y)\).

Таким образом, уравнение перепишется в следующем виде: \(-2\log_{2}(3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5) = 0\).

Далее, мы знаем, что логарифм равен нулю только тогда, когда аргумент под логарифмом равен 1. Поэтому, у нас получается уравнение \(3\cos(2x) - 2\cos^2(x) + 5 = 1\).

Теперь решим это уравнение. Для начала, приведем его к квадратному виду. Представим квадрат косинуса \(\cos^2(x)\) как \(\frac{1}{2}(1 + \cos(2x))\). Это можно сделать с помощью тригонометрической формулы двойного угла.

Подставим полученное выражение в уравнение и получим:
\[3\cos(2x) - 2\left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2x))\right) + 5 = 1.\]

Упростим его:
\[3\cos(2x) - 1 - \cos(2x) + 5 = 1.\]

Сгруппируем подобные члены:
\[2\cos(2x) + 4 = 1.\]

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
\[2\cos(2x) = -3.\]

Теперь разделим обе части на 2:
\[\cos(2x) = -\frac{3}{2}.\]

Это уравнение косинуса. Чтобы найти решение, найдем угол, при котором косинус равен \(-\frac{3}{2}\). Однако косинус не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это уравнение не имеет решения в действительных числах.

Итак, решение данного уравнения в действительных числах отсутствует.