Как решить уравнение 3tg^3x - tgx + 3tg^2x

Геннадий_1395

16

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

1. Перепишем уравнение: 3tg^3x - tgx + 3tg^2x = 0.

2. Для более удобной записи заменим тангенс через синус и косинус: 3sin^3x/cos^3x - sinx/cosx + 3sin^2x/cos^2x = 0.

3. Приведем к общему знаменателю и упростим: (3sin^3x - sinx*cos^2x + 3sin^2x*cosx) / cos^3x = 0.

4. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: (3sin^2x*sinx - sinx*cos^2x + 3sin^2x*cosx) / cos^3x = 0.

5. Получим: (3sin^2x*sinx - sinx*cos^2x + 3sin^2x*cosx) = 0.

6. Вынесем sinx за скобку: sinx(3sin^2x - cos^2x + 3sin^2x) = 0.

7. Упростим скобку: sinx(6sin^2x - cos^2x) = 0.

8. По свойству синуса sinx = 0, когда x = kπ, где k - целое число.

9. Решим уравнение 6sin^2x - cos^2x = 0 отдельно. Поделим обе части на cos^2x: 6(tan^2x + 1) - 1 = 0.

10. Упростим выражение: 6tan^2x + 6 - 1 = 0.

11. Получим: 6tan^2x + 5 = 0.

12. Разделим обе части на 6: tan^2x + 5/6 = 0.

13. Применим формулу тангенса: tan^2x + 1 = sec^2x.

14. Получим: sec^2x - 5/6 = 0.

15. Рассчитаем sec^2x: sec^2x = 1 + tan^2x.

16. Подставим значение sec^2x в уравнение: 1 + tan^2x - 5/6 = 0.

17. Упростим уравнение: tan^2x - 1/6 = 0.

18. Решим полученное уравнение: tan^2x = 1/6.

19. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: tanx = ±sqrt(1/6) = ±1/(sqrt(6)).

20. Найдем все значения x, используя обратную функцию тангенса: x = arctan(±1/(sqrt(6))).

Таким образом, получаем, что уравнение 3tg^3x - tgx + 3tg^2x = 0 имеет бесконечное число решений, которые можно представить в виде x = kπ ± arctan(1/(sqrt(6))), где k - целое число.