Как решить уравнение 7sin2x+3cos2x+7=0 с использованием тригонометрии?

Магический_Космонавт

56

Конечно, я могу помочь вам решить данное уравнение с использованием тригонометрических функций. Давайте начнем.

У нас есть уравнение \(7\sin^2x + 3\cos^2x + 7 = 0\).

Первым шагом, давайте заменим \(\sin^2x\) на \(1 - \cos^2x\) с использованием тригонометрической тождества \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Тогда уравнение примет вид:

\[7(1 - \cos^2x) + 3\cos^2x + 7 = 0.\]

Раскроем скобки:

\[7 - 7\cos^2x + 3\cos^2x + 7 = 0.\]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[10 - 4\cos^2x = 0.\]

Теперь, давайте разделим обе части уравнения на 2:

\[5 - 2\cos^2x = 0.\]

Таким образом, у нас получилось квадратное уравнение: \(-2\cos^2x + 5 = 0\).

Для решения этого квадратного уравнения, давайте приведем его к стандартной форме. Перенесем все члены в одну сторону:

\(-2\cos^2x + 5 = 0 \Rightarrow -2\cos^2x = -5.\)

Теперь, разделим обе части на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед \(\cos^2x\):

\[2\cos^2x = 5.\]

Наконец, разделим обе части уравнения на 2:

\[\cos^2x = \frac{5}{2}.\]

Чтобы найти значения \(\cos x\), возьмем квадратные корни от обеих сторон уравнения:

\[\cos x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}}.\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos x\), которые можно подставить в тригонометрические функции, чтобы найти значения \(x\).

Давайте выразим эти значения через их арккосинусы:

\[\cos x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \Rightarrow x = \arccos\left(\pm\sqrt{\frac{5}{2}}\right).\]

Теперь, остается только вычислить значения функции арккосинуса и округлить ответы до нужной точности, если требуется.

Пожалуйста, обратите внимание, что у нас несколько возможных решений, так как косинус имеет период 2\(\pi\). Вы можете использовать эти значения \(x\) и подставить их обратно в исходное уравнение, чтобы проверить их корректность.

Надеюсь, этот подробный шаг за шагом алгоритм помог вам понять, как решить данное тригонометрическое уравнение.