Как решить уравнение cos^2 x - 2 cos 7x cos x + 1

Lunnyy_Homyak

10

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

Имеем уравнение: \(\cos^2 x - 2 \cos 7x \cos x + 1\).

1. Начнем с приведения данного выражения к более простому виду. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\).
Заметим, что в данном уравнении выражение \(\cos^2 x\) встречается вначале и в конце. Давайте заменим его с помощью этой формулы.

2. Применяем формулу: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\).
Заменяем \(\cos^2 x\) и \(\cos^7 x\) с помощью этой формулы и получаем следующее выражение:
\((2\cos^2 x - 1) - 2 \cos 7x \cos x + 1\).

3. Дальше, проводим упрощение данного выражения:
удаляем скобки и сгруппируем подобные слагаемые.
Получим: \(2\cos^2 x - 2 \cos 7x \cos x - 1 + 1\).

4. Обратите внимание, выражение "-1 + 1" даст нам 0, следовательно, оно исчезнет:
\(2\cos^2 x - 2 \cos 7x \cos x + 0\).

5. Теперь у нас уравнение принимает вид: \(2\cos^2 x - 2 \cos 7x \cos x\).

6. Мы можем провести факторизацию данного выражения. Заметим, что в данном уравнении присутствует общий множитель \(2 \cos x\).
Выносим его за скобку:
\(2\cos x(\cos x - \cos 7x)\).

7. Далее, у нас есть два множителя: \(2\cos x\) и \(\cos x - \cos 7x\).
Чтобы найти корни уравнения, мы рассматриваем каждый множитель по отдельности и равенство произведения множителей равно нулю:
\(2\cos x = 0\) или \(\cos x - \cos 7x = 0\).

8. Начнем с первого уравнения: \(2\cos x = 0\).
Чтобы найти значения угла \(x\), при которых это уравнение верно, мы делим обе части на 2:
\(\cos x = 0\).

9. Решим уравнение \(\cos x = 0\).
Находим значения угла \(x\), которые удовлетворяют этому уравнению. Вспоминаем, что косинус равен нулю в точках поворота (экстремумы):
\(x_1 = \frac{\pi}{2}\) и \(x_2 = \frac{3\pi}{2}\).

10. Перейдем ко второму уравнению: \(\cos x - \cos 7x = 0\).
В данном случае у нас нет простых необходимых правил факторизации или формулы, поэтому мы используем тригонометрическую формулу разности косинусов: \(\cos a - \cos b = -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\).
Применяем эту формулу и получаем:
\(-2\sin\left(\frac{(x+7x)}{2}\right)\sin\left(\frac{(x-7x)}{2}\right) = 0\).
Упрощаем:
\(-2\sin\left(\frac{8x}{2}\right)\sin\left(\frac{-6x}{2}\right) = 0\).
\(-2\sin(4x)\sin(-3x) = 0\).

11. Теперь мы можем найти значения угла \(x\), при которых это уравнение верно, решив каждое из полученных уравнений по отдельности:
\(-2\sin(4x) = 0\) или \(\sin(-3x) = 0\).

12. Начнем с первого уравнения: \(-2\sin(4x) = 0\).
Делим обе части на -2:
\(\sin(4x) = 0\).

13. Решим уравнение \(\sin(4x) = 0\) для нахождения значений угла \(x\), удовлетворяющих этому уравнению.
Вспоминаем, что синус равен нулю в точках пересечения с осью абсцисс:
\(x_3 = 0, x_4 = \pi, x_5 = 2\pi, x_6 = 3\pi\).

14. Перейдем ко второму уравнению: \(\sin(-3x) = 0\).
Заметьте, что \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\).
Поэтому данное уравнение эквивалентно \(-\sin(3x) = 0\).
Делим обе части на -1 и получаем \(\sin(3x) = 0\).

15. Решим уравнение \(\sin(3x) = 0\) для нахождения значений угла \(x\), удовлетворяющих этому уравнению.
Вспоминаем, что синус равен нулю в точках пересечения с осью абсцисс:
\(x_7 = 0, x_8 = \frac{\pi}{3}, x_9 = \frac{2\pi}{3}, x_{10} = \pi, x_{11} = \frac{4\pi}{3}, x_{12} = \frac{5\pi}{3}, x_{13} = 2\pi\).

16. Итак, после решения всех уравнений, мы получили следующие значения угла \(x\), при которых исходное уравнение истинно:
\(x_1 = \frac{\pi}{2}, x_2 = \frac{3\pi}{2}, x_3 = 0, x_4 = \pi, x_5 = 2\pi, x_6 = 3\pi, x_7 = 0, x_8 = \frac{\pi}{3}, x_9 = \frac{2\pi}{3}, x_{10} = \pi, x_{11} = \frac{4\pi}{3}, x_{12} = \frac{5\pi}{3}, x_{13} = 2\pi\).

Это решение уравнения \(\cos^2 x - 2 \cos 7x \cos x + 1\) с обоснованием и пошаговым решением. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!