Как решить уравнение (x+2)²+9(x+2)+20=0? Как найти корни уравнения (x-5)²+2(x-5)-63=0?

Лёха_9483

56

Хорошо, давайте решим эти уравнения по порядку.

1. Уравнение (x+2)²+9(x+2)+20=0:

Давайте введем замену: пусть \(y = x+2\). Тогда наше уравнение примет форму:

\[y^2 + 9y + 20 = 0\]

Теперь у нас уравнение квадратного полинома с переменной \(y\). Чтобы решить его, давайте воспользуемся формулой дискриминанта. Для полинома вида \(ay^2 + by + c = 0\) дискриминант \(D\) можно найти по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 9\), и \(c = 20\). Вычислим дискриминант:

\[D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\]

Так как дискриминант положительный, у нас два действительных корня. Теперь найдем эти корни с помощью формулы:

\[y_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения и решим:

\[y_1 = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 + 1}{2} = -4\]
\[y_2 = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-9 - 1}{2} = -5\]

Теперь, чтобы найти значения переменной \(x\), вернемся к исходному уравнению и подставим \(y_1 = -4\) и \(y_2 = -5\). Получим:

1) Если \(y = -4\):
\[x + 2 = -4 \Rightarrow x = -4 - 2 = -6\]

2) Если \(y = -5\):
\[x + 2 = -5 \Rightarrow x = -5 - 2 = -7\]

Таким образом, решением уравнения (x+2)²+9(x+2)+20=0 являются два значения: \(x = -6\) и \(x = -7\).

2. Уравнение (x-5)²+2(x-5)-63=0:

Подобные шаги позволят нам решить это уравнение. Давайте заменим \(y = x-5\) и перепишем уравнение:

\[y^2 + 2y - 63 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256\]

Так как дискриминант положительный, у нас опять же два действительных корня. Используем формулу:

\[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{256}}{2} = -1 + 16 = 15\]
\[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{256}}{2} = -1 - 16 = -17\]

Теперь найдем значения переменной \(x\), подставив \(y_1 = 15\) и \(y_2 = -17\) в исходное уравнение:

1) Если \(y = 15\):
\[x - 5 = 15 \Rightarrow x = 15 + 5 = 20\]

2) Если \(y = -17\):
\[x - 5 = -17 \Rightarrow x = -17 + 5 = -12\]

Таким образом, решением уравнения (x-5)²+2(x-5)-63=0 являются два значения: \(x = 20\) и \(x = -12\).

Надеюсь, это решение и объяснение помогли вам понять, как получить корни данных уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!