Как решить выражение (11/18 + 29/45) ÷ (35/54 - 19/27)?

Мила

52

Хорошо, давайте решим данное выражение шаг за шагом.

Задача заключается в вычислении выражения \(\frac{{\frac{{11}}{{18}} + \frac{{29}}{{45}}}}{{\frac{{35}}{{54}} - \frac{{19}}{{27}}}}\).

1. Начнем с обработки скобок. В числителе данного выражения у нас есть сложение дробей. Чтобы сложить эти дроби, мы должны привести их к общему знаменателю.

Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{{11}}{{18}}\) и \(\frac{{29}}{{45}}\). Мы можем умножить знаменатель первой дроби \(\frac{{11}}{{18}}\) на 5 и знаменатель второй дроби \(\frac{{29}}{{45}}\) на 2. Таким образом, общий знаменатель будет равен \(18 \cdot 5 = 90\).

Приведем обе дроби к общему знаменателю:
\[\frac{{11}}{{18}} = \frac{{11 \cdot 5}}{{18 \cdot 5}} = \frac{{55}}{{90}}\]
\[\frac{{29}}{{45}} = \frac{{29 \cdot 2}}{{45 \cdot 2}} = \frac{{58}}{{90}}\]

Теперь сложим полученные дроби:
\[\frac{{11}}{{18}} + \frac{{29}}{{45}} = \frac{{55}}{{90}} + \frac{{58}}{{90}} = \frac{{55 + 58}}{{90}} = \frac{{113}}{{90}}\]

2. Теперь обратимся к знаменателю выражения. Здесь у нас также имеется вычитание дробей. Мы должны привести дроби к общему знаменателю.

Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{{35}}{{54}}\) и \(\frac{{19}}{{27}}\). Мы можем умножить знаменатель первой дроби \(\frac{{35}}{{54}}\) на 3 и знаменатель второй дроби \(\frac{{19}}{{27}}\) на 2. Таким образом, общий знаменатель будет равен \(54 \cdot 3 = 162\).

Приведем обе дроби к общему знаменателю:
\[\frac{{35}}{{54}} = \frac{{35 \cdot 3}}{{54 \cdot 3}} = \frac{{105}}{{162}}\]
\[\frac{{19}}{{27}} = \frac{{19 \cdot 2}}{{27 \cdot 2}} = \frac{{38}}{{54}}\]

Теперь вычтем полученные дроби:
\[\frac{{35}}{{54}} - \frac{{19}}{{27}} = \frac{{105}}{{162}} - \frac{{38}}{{54}}\]

3. Для вычитания дробей мы должны иметь общий знаменатель. Общий знаменатель у нас уже есть (\(162\)), поэтому мы можем выполнять вычитание:

\[\frac{{35}}{{54}} - \frac{{19}}{{27}} = \frac{{105}}{{162}} - \frac{{38}}{{54}} = \frac{{105 \cdot 2}}{{162 \cdot 2}} - \frac{{38 \cdot 3}}{{54 \cdot 3}} = \frac{{210}}{{324}} - \frac{{114}}{{162}}\]
\[\frac{{35}}{{54}} - \frac{{19}}{{27}} = \frac{{210 - 114}}{{324}} = \frac{{96}}{{324}}\]

4. Теперь подставим значения дробей \(113/90\) и \(96/324\) в исходное выражение и выполним деление:

\(\frac{{\frac{{113}}{{90}}}}{{\frac{{96}}{{324}}}} = \frac{{113}}{{90}} \cdot \frac{{324}}{{96}}\)

Для простоты вычислений можно сократить обе дроби перед умножением:
\(\frac{{113}}{{90}} = \frac{{113}}{{1}}\) (так как \(\frac{{a}}{{1}} = a\) для любого числа \(a\))
\(\frac{{324}}{{96}} = \frac{{9 \cdot 36}}{{3 \cdot 32}} = \frac{{3 \cdot 12}}{{3 \cdot 32}} = \frac{{12}}{{32}}\)

Теперь выполним умножение:
\(\frac{{113}}{{1}} \cdot \frac{{12}}{{32}} = \frac{{113 \cdot 12}}{{1 \cdot 32}} = \frac{{1356}}{{32}} = \frac{{169}}{{4}}\)

Ответ: \(\frac{{11/18 + 29/45}}{{35/54 - 19/27}} = \frac{{169}}{{4}}\)