Какова разница между значениями функций f(29-8√13) и g(4+√13), где f(x) = √x и g(x) = 3/x?

Зоя

11

Чтобы найти разницу между значениями функций \(f(29-8\sqrt{13})\) и \(g(4+\sqrt{13})\), нам нужно вычислить каждое значение поочередно и вычислить разность между ними.

Начнем с функции \(f(x) = \sqrt{x}\). Мы должны подставить \(29-8\sqrt{13}\) вместо \(x\):
\[f(29-8\sqrt{13}) = \sqrt{29-8\sqrt{13}}\]

Для упрощения выражения проведем некоторые алгебраические преобразования:
\[f(29-8\sqrt{13}) = \sqrt{(29-8\sqrt{13})}\]
\[= \sqrt{29 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{13} + (8\sqrt{13})^2}\]
\[= \sqrt{29 - 16\sqrt{13} + 64 \cdot 13}\]
\[= \sqrt{29 - 16\sqrt{13} + 832}\]
\[= \sqrt{861 - 16\sqrt{13}}\]

Теперь посмотрим на функцию \(g(x) = \frac{3}{x}\). Подставим \(4+\sqrt{13}\) вместо \(x\):
\[g(4+\sqrt{13}) = \frac{3}{4+\sqrt{13}}\]

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное значение дроби:
\[g(4+\sqrt{13}) = \frac{3}{4+\sqrt{13}} \cdot \frac{4-\sqrt{13}}{4-\sqrt{13}}\]
\[= \frac{3(4-\sqrt{13})}{(4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})}\]
\[= \frac{3(4-\sqrt{13})}{(4^2 - (\sqrt{13})^2)}\]
\[= \frac{3(4-\sqrt{13})}{16-13}\]
\[= \frac{3(4-\sqrt{13})}{3}\]
\[= 4 - \sqrt{13}\]

Теперь, чтобы вычислить разницу между этими двумя значениями, вычтем \(g(4+\sqrt{13})\) из \(f(29-8\sqrt{13})\):
\[f(29-8\sqrt{13}) - g(4+\sqrt{13}) = \sqrt{861 - 16\sqrt{13}} - (4 - \sqrt{13})\]

Для более удобных вычислений, приведем выражение к общему знаменателю, умножив и числитель, и знаменатель первого слагаемого на \(\sqrt{13}\):
\[f(29-8\sqrt{13}) - g(4+\sqrt{13}) = \frac{\sqrt{861 - 16\sqrt{13}}}{1} - \frac{4-\sqrt{13}}{1}\]
\[= \frac{\sqrt{861 - 16\sqrt{13}} - (4-\sqrt{13})}{1}\]
\[= \frac{\sqrt{861 - 16\sqrt{13}} - 4 + \sqrt{13}}{1}\]
\[= \frac{\sqrt{861 - 16\sqrt{13}} + \sqrt{13} - 4}{1}\]

Таким образом, разница между значениями функций \(f(29-8\sqrt{13})\) и \(g(4+\sqrt{13})\) равна \(\frac{\sqrt{861 - 16\sqrt{13}} + \sqrt{13} - 4}{1}\).

Надеюсь, что эта подробная исчерпывающая информация наглядно объясняет разницу между значениями данных функций. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!