Как решить задачу о перпендикулярности прямой и плоскости в стереометрии для учащихся 10 класса?

Пётр

65

Конечно! Для решения задачи о перпендикулярности прямой и плоскости в стереометрии, помимо основных знаний о прямых и плоскостях, нам понадобятся следующие понятия и свойства:

1. Уравнение плоскости в пространстве. Обычно плоскость задается уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - коэффициенты плоскости, а x, y, z - переменные. Это уравнение определяет все точки (x, y, z), принадлежащие плоскости.

2. Вектор нормали плоскости. Вектор нормали плоскости перпендикулярен самой плоскости. Он может быть найден по коэффициентам уравнения плоскости. Для уравнения вида Ax + By + Cz + D = 0 вектор нормали будет иметь координаты (A, B, C).

3. Уравнение прямой. Прямая в пространстве может быть задана точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Теперь перейдем к решению задачи. Допустим, у нас есть заданная прямая с уравнением и плоскость с уравнением.

Шаг 1: Необходимо найти направляющий вектор прямой. Для этого выбираем две точки на прямой и вычисляем разность координат между ними. Это даст нам направляющий вектор прямой.

Шаг 2: Далее найдем вектор нормали плоскости, используя коэффициенты уравнения плоскости.

Шаг 3: Проверяем, перпендикулярна ли прямая плоскости. Для этого вычисляем скалярное произведение между направляющим вектором прямой и вектором нормали плоскости. Если скалярное произведение равно нулю, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Теперь давайте рассмотрим пример задачи о перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача: Проверить, перпендикулярна ли прямая с уравнением \(2x-3y+4z-5=0\) плоскости с уравнением \(4x+2y-6z+1=0\).

Шаг 1: Вычислим направляющий вектор прямой. Для этого возьмём две точки на прямой, например, (0, 0, -5) и (1, 2, 3). Разность координат между этими точками даст нам вектор направления прямой: (1, 2, 3) - (0, 0, -5) = (1, 2, 8).

Шаг 2: Найдем вектор нормали плоскости. Сравняем коэффициенты уравнения плоскости с соответствующими координатами вектора нормали плоскости. Получим вектор нормали: (4, 2, -6).

Шаг 3: Вычислим скалярное произведение между направляющим вектором прямой и вектором нормали плоскости. Это можно сделать по формуле скалярного произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \). Подставим значения: (1, 2, 8) \(\cdot\) (4, 2, -6) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 8 \cdot (-6) = 4 + 4 - 48 = -40.

Таким образом, получили, что скалярное произведение между направляющим вектором прямой и вектором нормали плоскости равно -40, что не является равным нулю. Следовательно, прямая с уравнением \(2x-3y+4z-5=0\) и плоскость с уравнением \(4x+2y-6z+1=0\) не являются перпендикулярными.

Таким образом, мы получили ответ на задачу о перпендикулярности прямой и плоскости в стереометрии для учащихся 10 класса.