Как сократить дробь (x^2 + 2x - 63) / (49 - x^2)?

Muravey

41

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам нужно сократить дробь (x^2 + 2x - 63) / (49 - x^2). Для начала посмотрим, можно ли упростить числитель и знаменатель.

В числителе у нас есть квадратный трехчлен \(x^2 + 2x - 63\), который может быть раскрыт в произведение двух линейных множителей. Давайте найдем эти множители с помощью факторизации.

Раскрывающаяся скобка для \(x^2 + 2x - 63\) будет иметь вид (x + a)(x + b), где a и b - числа, которые мы должны найти.

Мы должны найти два числа a и b такие, чтобы (x + a)(x + b) давало x^2 + 2x - 63.

Единственное, что нам нужно сделать, это найти два числа a и b, такие что их сумма равна 2, а их произведение равно -63.

После некоторых вычислений мы получаем a = 7 и b = -9. Таким образом, мы можем раскрыть числитель и записать его в виде (x + 7)(x - 9).

Теперь давайте посмотрим на знаменатель (49 - x^2). Это разность двух квадратов, которую мы можем раскрыть по формуле разности квадратов.

Знаменатель можно записать как (7 + x)(7 - x).

Итак, теперь наша исходная дробь (x^2 + 2x - 63) / (49 - x^2) может быть переписана в виде (x + 7)(x - 9) / (7 + x)(7 - x).

Для того чтобы сократить эту дробь, мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе.

Поскольку у нас есть (x + 7) и (7 - x) как общие множители в числителе и знаменателе, мы можем сократить их.

Таким образом, наша исходная дробь сокращается к виду (x - 9) / (7 + x).

Вот и все! Теперь мы сократили дробь (x^2 + 2x - 63) / (49 - x^2) до простейшего вида (x - 9) / (7 + x).