Как упростить выражение 2cos10acos6a-cos4a?

Сладкий_Ангел_792

17

Хорошо! Давайте разберемся с упрощением данного выражения по шагам:

1. Для начала давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса. Формула гласит:
$$\cos (2\theta )=2{\cos }^2(\theta )-1$$

Применим эту формулу к первому слагаемому выражения:
$$2\cos (10a)=2{\cos }^2(5a)-1$$

2. Теперь давайте воспользуемся формулой произведения косинусов. Формула гласит:
$$\cos (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$$

Применим эту формулу ко второму слагаемому выражения:
$$\cos (6a)\cos (4a)=\frac{1}{2}[\cos (10a)+\cos (2a)]$$

3. Теперь, воспользуемся найденными ранее значениями для каждого слагаемого и подставим их обратно в исходное выражение:

$$2{\cos }^2(5a)-1\cdot \frac{1}{2}[\cos (10a)+\cos (2a)]-\cos (4a)$$

Давайте раскроем скобки:

$$2{\cos }^2(5a)-\frac{1}{2}\cos (10a)-\frac{1}{2}\cos (2a)-\cos (4a)$$

4. Упростим еще дальше. Заметим, что $\frac{1}{2}\cos (10a)-\frac{1}{2}\cos (2a)$ может быть записано как $\frac{1}{2}[\cos (10a)-\cos (2a)]$.

Продолжим упрощение:

$$2{\cos }^2(5a)-\frac{1}{2}[\cos (10a)-\cos (2a)]-\cos (4a)$$

5. Вспомним формулу суммы косинусов. Она гласит:
$$\cos (\alpha )-\cos (\beta )=-2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$$

Применим эту формулу к слагаемому $\cos (10a)-\cos (2a)$:
$$\cos (10a)-\cos (2a)=-2\sin (6a)\sin (4a)$$

Продолжим упрощение:

$$2{\cos }^2(5a)-\frac{1}{2}[-2\sin (6a)\sin (4a)]-\cos (4a)$$

6. Теперь, упростим еще дальше. Заметим, что $-\frac{1}{2}[-2\sin (6a)\sin (4a)]$ может быть записано как $\sin (6a)\sin (4a)$.

Продолжим упрощение:

$$2{\cos }^2(5a)+\sin (6a)\sin (4a)-\cos (4a)$$

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для данного задания:
$$2{\cos }^2(5a)+\sin (6a)\sin (4a)-\cos (4a)$$

Надеюсь, что ответ ясен и понятен!