Как упростить выражение 2cos10acos6a-cos4a?

Сладкий_Ангел_792

17

Хорошо! Давайте разберемся с упрощением данного выражения по шагам:

1. Для начала давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса. Формула гласит:
\[\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\]

Применим эту формулу к первому слагаемому выражения:
\[2\cos(10a) = 2\cos^2(5a) - 1\]

2. Теперь давайте воспользуемся формулой произведения косинусов. Формула гласит:
\[\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\]

Применим эту формулу ко второму слагаемому выражения:
\[\cos(6a)\cos(4a) = \frac{1}{2}[\cos(10a) + \cos(2a)]\]

3. Теперь, воспользуемся найденными ранее значениями для каждого слагаемого и подставим их обратно в исходное выражение:

\[2\cos^2(5a) - 1 \cdot \frac{1}{2}[\cos(10a) + \cos(2a)] - \cos(4a)\]

Давайте раскроем скобки:

\[2\cos^2(5a) - \frac{1}{2}\cos(10a) - \frac{1}{2}\cos(2a) - \cos(4a)\]

4. Упростим еще дальше. Заметим, что \(\frac{1}{2}\cos(10a) - \frac{1}{2}\cos(2a)\) может быть записано как \(\frac{1}{2}[\cos(10a) - \cos(2a)]\).

Продолжим упрощение:

\[2\cos^2(5a) - \frac{1}{2}[\cos(10a) - \cos(2a)] - \cos(4a)\]

5. Вспомним формулу суммы косинусов. Она гласит:
\[\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\]

Применим эту формулу к слагаемому \(\cos(10a) - \cos(2a)\):
\[\cos(10a) - \cos(2a) = -2\sin(6a)\sin(4a)\]

Продолжим упрощение:

\[2\cos^2(5a) - \frac{1}{2}[-2\sin(6a)\sin(4a)] - \cos(4a)\]

6. Теперь, упростим еще дальше. Заметим, что \(-\frac{1}{2}[-2\sin(6a)\sin(4a)]\) может быть записано как \(\sin(6a)\sin(4a)\).

Продолжим упрощение:

\[2\cos^2(5a) + \sin(6a)\sin(4a) - \cos(4a)\]

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для данного задания:
\[2\cos^2(5a) + \sin(6a)\sin(4a) - \cos(4a)\]

Надеюсь, что ответ ясен и понятен!