Как упростить выражение (a^2+8ab+16b^2)/(a^2-16b^2) и найти его значение при a=-18, b=-7,5?

Валера

55

Для начала, давайте рассмотрим данное выражение:

\[\frac{{a^2+8ab+16b^2}}{{a^2-16b^2}}\]

Для упрощения этой дроби мы можем раскрыть числитель и знаменатель в виде произведения. Затем мы сократим общие множители, если они будут.

Начнем с раскрытия числителя. Мы можем разложить его на квадрат суммы двух членов:

\(a^2+8ab+16b^2 = (a+4b)^2\)

Аналогично, раскроем знаменатель, который представляет собой разность двух квадратов:

\(a^2-16b^2 = (a-4b)(a+4b)\)

Теперь, подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в нашу исходную дробь:

\[\frac{{(a+4b)^2}}{{(a-4b)(a+4b)}}\]

Заметим, что у нас есть общий множитель \((a+4b)\), который можно сократить. Деление на себя равно 1, поэтому итоговое упрощенное выражение будет иметь вид:

\[\frac{{(a+4b)^2}}{{(a-4b)(a+4b)}} = \frac{{(a+4b)}}{{(a-4b)}}\]

Теперь, чтобы найти значение этого выражения при заданных значениях \(a=-18\) и \(b=-7,5\), заменим переменные на числа:

\[\frac{{(-18+4(-7,5))}}{{(-18-4(-7,5))}}\]

Упростим это:

\[\frac{{(-18-30)}}{{(-18+30)}}\]

\[\frac{{-48}}{{12}}\]

\[-4\]

Таким образом, значение упрощенного выражения при \(a=-18\) и \(b=-7,5\) равно -4.