Умножение трех на два х на две х минус один меньше или равно умножению двух х в квадрате минус десяти х плюс двух

Алекс

1

Хорошо, давайте разберем данную задачу шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:

\[3 \times 2x \times 2x - 1 \leq 2x^2 - 10x + 2\]

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Умножим 2x на 2x, а затем умножим полученный результат на 3:

\[12x^2 - 1 \leq 2x^2 - 10x + 2\]

Теперь приведем уравнение к виду, где все члены находятся на одной стороне:

\[12x^2 - 2x^2 + 10x - 2 \leq 1\]

Сокращаем одинаковые члены:

\[10x^2 + 10x - 2 \leq 1\]

Теперь вычитаем 1 из обеих сторон уравнения:

\[10x^2 + 10x - 3 \leq 0\]

Разложим данное неравенство на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения \(10x^2 + 10x - 3 = 0\).

Используя квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) и формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), получаем:

\[D = (10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 100 + 120 = 220\]

Так как дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-10 \pm \sqrt{220}}{2 \cdot 10}\]

\[x = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 55}}{20}\]

\[x = \frac{-10 \pm 2\sqrt{55}}{20}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{55}}{10}\]

Таким образом, у нас есть два корня квадратного уравнения: \(\frac{-5 + \sqrt{55}}{10}\) и \(\frac{-5 - \sqrt{55}}{10}\).

Теперь вернемся к нашему неравенству \(10x^2 + 10x - 3 \leq 0\). Для определения знаков неравенства найдем значения между корнями квадратного уравнения.

Подставим значения между корнями квадратного уравнения (например, \(\frac{-5 + \sqrt{55}}{10}\)) в исходное неравенство и определим, выполняется оно или нет. Для проверки можно выбрать значения внутри интервала и значения снаружи интервала.

Когда \(x < \frac{-5 - \sqrt{55}}{10}\) или \(x > \frac{-5 + \sqrt{55}}{10}\), исходное неравенство не выполняется.

Когда \(\frac{-5 - \sqrt{55}}{10} \leq x \leq \frac{-5 + \sqrt{55}}{10}\), исходное неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал \(\left[\frac{-5 - \sqrt{55}}{10}, \frac{-5 + \sqrt{55}}{10}\right]\).