Умножение трех на два х на две х минус один меньше или равно умножению двух х в квадрате минус десяти х плюс двух

Алекс

1

Хорошо, давайте разберем данную задачу шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:

$$3\times 2x\times 2x-1\le 2x^2-10x+2$$

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Умножим 2x на 2x, а затем умножим полученный результат на 3:

$$12x^2-1\le 2x^2-10x+2$$

Теперь приведем уравнение к виду, где все члены находятся на одной стороне:

$$12x^2-2x^2+10x-2\le 1$$

Сокращаем одинаковые члены:

$$10x^2+10x-2\le 1$$

Теперь вычитаем 1 из обеих сторон уравнения:

$$10x^2+10x-3\le 0$$

Разложим данное неравенство на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $10x^2+10x-3=0$.

Используя квадратное уравнение $a{x}^2+bx+c=0$ и формулу дискриминанта $D=b^2-4ac$, получаем:

$$D=(10{)}^2-4\cdot 10\cdot (-3)=100+120=220$$

Так как дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x=\frac{-10\pm \sqrt{220}}{2\cdot 10}$$

$$x=\frac{-10\pm \sqrt{4\cdot 55}}{20}$$

$$x=\frac{-10\pm 2\sqrt{55}}{20}$$

$$x=\frac{-5\pm \sqrt{55}}{10}$$

Таким образом, у нас есть два корня квадратного уравнения: $\frac{-5+\sqrt{55}}{10}$ и $\frac{-5-\sqrt{55}}{10}$.

Теперь вернемся к нашему неравенству $10x^2+10x-3\le 0$. Для определения знаков неравенства найдем значения между корнями квадратного уравнения.

Подставим значения между корнями квадратного уравнения (например, $\frac{-5+\sqrt{55}}{10}$) в исходное неравенство и определим, выполняется оно или нет. Для проверки можно выбрать значения внутри интервала и значения снаружи интервала.

Когда $x<\frac{-5-\sqrt{55}}{10}$ или $x>\frac{-5+\sqrt{55}}{10}$, исходное неравенство не выполняется.

Когда $\frac{-5-\sqrt{55}}{10}\le x\le \frac{-5+\sqrt{55}}{10}$, исходное неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал $[\frac{-5-\sqrt{55}}{10},\frac{-5+\sqrt{55}}{10}]$.