Как упростить выражение: Tg^2a - sin^2a ——————— - (tg^6a-7) Ctg^2a- cos^2a?

Drakon

41

Чтобы упростить данное выражение, мы можем использовать формулы тригонометрии, чтобы привести выражение к более простому виду. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Приведение дроби к общему знаменателю
Нижним знаменателем является \(Ctg^2a - cos^2a\), поэтому мы умножим первую часть выражения на \((Ctg^2a - cos^2a)\) для получения общего знаменателя. Выражение теперь будет выглядеть так:

\[
\frac{{Tg^2a - sin^2a}}{{Ctg^2a - cos^2a}} \cdot \frac{{Ctg^2a - cos^2a}}{{Ctg^2a - cos^2a}} - \frac{{(Tg^6a-7)}}{{Ctg^2a - cos^2a}}
\]

Сократим числители и знаменатели:

\[
\frac{{(Tg^2a - sin^2a) \cdot (Ctg^2a - cos^2a) - (Tg^6a-7)}}{{(Ctg^2a - cos^2a)^2}}
\]

Шаг 2: Раскрытие скобок
Раскроем скобки в числителе:

\[
(Tg^2a - sin^2a) \cdot (Ctg^2a - cos^2a) - (Tg^6a-7) = Tg^2a \cdot Ctg^2a - Tg^2a \cdot cos^2a - sin^2a \cdot Ctg^2a + sin^2a \cdot cos^2a - (Tg^6a-7)
\]

Шаг 3: Упрощение
Давайте упростим каждый член отдельно:

1. \(Tg^2a \cdot Ctg^2a\) можно заменить на \(1\), так как \(Tg^2a\) и \(Ctg^2a\) являются обратными функциями тангенса.

2. \(Tg^2a \cdot cos^2a\) можно записать как \(sin^2a \cdot cos^2a\) с использованием тригонометрической тождества \(Tg^2a = sin^2a / cos^2a\). Таким образом, это будет равно \(sin^2a \cdot cos^2a\).

3. \(sin^2a \cdot Ctg^2a\) также можно заменить на \(sin^2a\).

4. \(sin^2a \cdot cos^2a\) остается без изменений.

Поэтому выражение после упрощения будет выглядеть следующим образом:

\[
1 - 2 \cdot sin^2a + sin^2a \cdot cos^2a - (Tg^6a-7)
\]

Шаг 4: Упрощение дополнительно
Обратим внимание на выражение \(-(Tg^6a-7)\). Так как тут нет других тригонометрических функций, мы просто раскроем скобки:

\[
-(Tg^6a-7) = -Tg^6a + 7
\]

Теперь можно объединить все члены в одно выражение:

\[
1 - 2 \cdot sin^2a + sin^2a \cdot cos^2a - Tg^6a + 7
\]

\(-2 \cdot sin^2a + sin^2a \cdot cos^2a\) можно объединить в один член, так как они содержат общий множитель \(sin^2a\):

\[
- sin^2a \cdot (2 - cos^2a) - Tg^6a + 7 + 1
\]

Наконец, опустим общий знаменатель в числитель:

\[
\frac{{- sin^2a \cdot (2 - cos^2a) - Tg^6a + 7 + 1}}{{(Ctg^2a - cos^2a)^2}}
\]

Это будет окончательным упрощенным выражением.

Надеюсь, это помогло вам понять, как упростить данное выражение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.