Как выразить вектор ос через векторы а, если в треугольнике OAB вектор ОА равен вектору А и вектор ОВ равен вектору

Семён

67

Для начала, давайте разберемся с данными векторами. У нас есть векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и отношение между длинами векторов \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\), которое равно 2:1.

Известно, что вектор \(\overrightarrow{OA}\) равен вектору \(\overrightarrow{A}\), а вектор \(\overrightarrow{OB}\) равен вектору \(\overrightarrow{B}\). То есть, мы можем записать следующее:

\(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A}\)

\(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{B}\)

Теперь нам нужно выразить вектор \(\overrightarrow{OC}\) через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\). Мы знаем, что отношение между длинами векторов \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) равно 2:1. Это означает, что вектор \(\overrightarrow{CA}\) составляет 2/3 от всего вектора \(\overrightarrow{CB}\).

Таким образом, мы можем записать:

\(\overrightarrow{CA} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{CB}\)

Чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{OC}\) через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\), мы можем использовать следующее соотношение:

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}\)

Теперь подставим значения векторов и найденное ранее значение \(\overrightarrow{CA}\):

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{A} + \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{CB}\)

Осталось только запиcать вектор \(\overrightarrow{CB}\) через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\):

\(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{CB} = \frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}\)

Вычтем \(\frac{2}{3} \cdot \overrightarrow{CB}\) из обеих сторон равенства:

\(\frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\)

Умножим обе стороны на 3 для удобства:

\(\overrightarrow{CB} = 3 \cdot \overrightarrow{AB}\)

Теперь, когда у нас есть выражение для \(\overrightarrow{CB}\) через \(\overrightarrow{AB}\), подставим его обратно в наше первоначальное уравнение:

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{A} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot \overrightarrow{AB})\)

Упростим это выражение:

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AB}\)

Т.е. вектор \(\overrightarrow{OC}\) можно выразить через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы получили искомое выражение для вектора \(\overrightarrow{OC}\) через векторы \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\).