Как записать формулу для деления многочленов P(x) на q(x)?

Ameliya_8209

66

Для записи формулы для деления многочленов P(x) на q(x) мы можем использовать деление с остатком или синтетическое деление. Для начала, давайте рассмотрим метод деления с остатком.

Пусть у нас есть два многочлена: P(x) - делимое, и q(x) - делитель. Деление многочленов может быть представлено следующим образом:

P(x) = q(x) * d(x) + r(x),

где d(x) - частное, r(x) - остаток от деления. Формула записи деления многочленов показывает, что многочлен P(x) может быть представлен в виде произведения многочлена q(x) и многочлена d(x), а к этому произведению добавляется остаток r(x).

Для более подробного понимания, давайте рассмотрим пример.

Предположим, у нас есть делимое многочлен P(x) = 3x^3 + 4x^2 - 2x + 1, а делитель q(x) = x - 2.

Шаг 1: Выполняем деление первого члена делимого на первый член делителя:
3x^3 / x = 3x^2.

Шаг 2: Помещаем результат деления (3x^2) над соответствующими степенями делителя и вычитаем из исходного многочлена:
(3x^2)(x - 2) = 3x^3 - 6x^2.

Получаем промежуточный остаток R1(x) = (3x^3 + 4x^2 - 2x + 1) - (3x^3 - 6x^2) = 10x^2 - 2x + 1.

Шаг 3: Повторяем предыдущие два шага с промежуточным остатком.

10x^2 / x = 10x.

(10x)(x - 2) = 10x^2 - 20x.

Промежуточный остаток R2(x) = (10x^2 - 2x + 1) - (10x^2 - 20x) = 18x + 1.

Шаг 4: Повторяем предыдущие два шага с новым промежуточным остатком.

18x / x = 18.

(18)(x - 2) = 18x - 36.

Промежуточный остаток R3(x) = (18x + 1) - (18x - 36) = 37.

Таким образом, мы получаем окончательный остаток R3(x) = 37.

Таким образом, формула для деления многочлена P(x) на q(x) будет выглядеть так:

P(x) = (x - 2) * (3x^2 + 10x + 18) + 37.

В данном примере, частное d(x) равно 3x^2 + 10x + 18, а остаток от деления r(x) равен 37.