Складіть квадратне рівняння, яке має корені 2/3 та має цілі коефіцієнти

Михайловна

27

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Мы знаем, что квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты уравнения.

Для начала, нам нужно найти два корня: 2/3 и еще один корень, который также является целым числом.

Для того чтобы у нас было квадратное уравнение с корнями 2/3 и целыми коэффициентами, мы можем использовать формулу суммы и произведения корней.

Эта формула гласит: если \(r_1\) и \(r_2\) - корни квадратного уравнения, то уравнение можно записать в виде \((x - r_1)(x - r_2) = 0\).

В нашем случае, у нас есть один корень 2/3, так что мы можем записать первую часть уравнения как \((x - \frac{2}{3})\).

Теперь нам нужно найти второй корень, который является целым числом. Поскольку квадратное уравнение с целыми коэффициентами может иметь только целочисленные корни, обратимся к нашему корню 2/3.

Корень 2/3 может быть представлен как десятичная дробь \(0.6666...\). Приближая ее, мы видим, что она ближе всего к 0.67.

Теперь найдем второй корень, ближайший к 0.67. Это может быть 1 или 0 или любое другое целое число, которое близко к 0.67. Для примера, давайте возьмем 1.

Теперь мы можем записать вторую часть уравнения как \((x - 1)\).

Складывая обе части, мы получаем окончательное квадратное уравнение:

\((x - \frac{2}{3})(x - 1) = 0\)

Обоснование: Когда мы раскрываем скобки, мы получаем два слагаемых \(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0\).

Таким образом, квадратное уравнение с корнями 2/3 и целыми коэффициентами будет выглядеть следующим образом:

\[x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0\]

В этом уравнении, \(a = 1\), \(b = -\frac{5}{3}\) и \(c = \frac{2}{3}\).

Благодаря использованию формулы суммы и произведения корней, мы получили квадратное уравнение, которое удовлетворяет условиям задачи.