Складіть квадратне рівняння, яке має корені 2/3 та має цілі коефіцієнти

Михайловна

27

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Мы знаем, что квадратное уравнение имеет вид $a{x}^2+bx+c=0$, где $a$, $b$ и $c$ - это коэффициенты уравнения.

Для начала, нам нужно найти два корня: 2/3 и еще один корень, который также является целым числом.

Для того чтобы у нас было квадратное уравнение с корнями 2/3 и целыми коэффициентами, мы можем использовать формулу суммы и произведения корней.

Эта формула гласит: если $r_1$ и $r_2$ - корни квадратного уравнения, то уравнение можно записать в виде $(x-r_1)(x-r_2)=0$.

В нашем случае, у нас есть один корень 2/3, так что мы можем записать первую часть уравнения как $(x-\frac{2}{3})$.

Теперь нам нужно найти второй корень, который является целым числом. Поскольку квадратное уравнение с целыми коэффициентами может иметь только целочисленные корни, обратимся к нашему корню 2/3.

Корень 2/3 может быть представлен как десятичная дробь $0.6666...$. Приближая ее, мы видим, что она ближе всего к 0.67.

Теперь найдем второй корень, ближайший к 0.67. Это может быть 1 или 0 или любое другое целое число, которое близко к 0.67. Для примера, давайте возьмем 1.

Теперь мы можем записать вторую часть уравнения как $(x-1)$.

Складывая обе части, мы получаем окончательное квадратное уравнение:

$(x-\frac{2}{3})(x-1)=0$

Обоснование: Когда мы раскрываем скобки, мы получаем два слагаемых $x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}=0$.

Таким образом, квадратное уравнение с корнями 2/3 и целыми коэффициентами будет выглядеть следующим образом:

$$x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}=0$$

В этом уравнении, $a=1$, $b=-\frac{5}{3}$ и $c=\frac{2}{3}$.

Благодаря использованию формулы суммы и произведения корней, мы получили квадратное уравнение, которое удовлетворяет условиям задачи.