Какая будет длина тени, проецируемая водолазом на дне водоема, при условии, что его рост составляет h= 2 метра, а тень

Snegir_844

39

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы геометрической оптики. В данном случае у нас есть водолаз, чей рост составляет 2 метра, и тень отбрасывается на поверхности воды длиной 1,6 метра. Нам нужно найти длину тени, которую проецирует водолаз на дне водоема.

Для начала, давайте воспользуемся законом преломления, который говорит, что отношение синуса угла падения (воздух-вода) к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления сред (воздуха и воды):

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

где \(\theta_1\) - угол падения, \(\theta_2\) - угол преломления, \(n_1\) - показатель преломления первой среды (воздуха), \(n_2\) - показатель преломления второй среды (воды).

В данном случае, у нас известно, что \(\theta_1\) равен углу между лучом света, идущим от водолаза до поверхности воды, и нормалью к поверхности воды. Так как угол падения и угол преломления определены одной и той же нормалью, мы можем записать:

\[\theta_1 = \theta_2\]

Таким образом, наше уравнение примет вид:

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Подставляя значения показателей преломления \(n_1 = 1\) (для воздуха) и \(n_2 = 1.4\) (для воды), получим:

\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{1.4}}{{1}}\]

Упрощая, получим:

\[\sin(\theta_1) = 1.4\]

Теперь нам нужно найти угол \(\theta_1\), чтобы определить длину тени.

Используем теорему синусов для треугольника, образованного водолазом, его ростом (h) и длиной тени (L):

\[\frac{{h}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{L}}{{\sin(90^\circ)}}\]

Учитывая, что \(\sin(90^\circ) = 1\), мы можем записать:

\[\frac{{h}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{L}}{{1}}\]

Подставляя известные значения \(h = 2\) и \(L = 1.6\), получим:

\[\frac{{2}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{1.6}}{{1}}\]

Упрощая, получим:

\[\sin(\theta_1) = \frac{{2}}{{1.6}}\]

Теперь, найдя значение \(\sin(\theta_1)\), мы можем найти угол \(\theta_1\). Давайте возьмем арксинус от обеих сторон, чтобы получить значение угла:

\[\theta_1 = \arcsin\left(\frac{{2}}{{1.6}}\right)\]

Подсчитав значение выражения в скобках, получим:

\[\theta_1 \approx 56.3^\circ\]

Итак, у нас есть значение угла \(\theta_1\). Теперь мы можем использовать этот угол для определения длины тени.

Используя теорему синусов для треугольника, образованного водолазом, его ростом (h) и длиной тени (x), мы можем записать:

\[\frac{{h}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{x}}{{\sin(90^\circ)}}\]

Учитывая, что \(\sin(90^\circ) = 1\), мы получим:

\[\frac{{h}}{{\sin(\theta_1)}} = \frac{{x}}{{1}}\]

Подставляя значения \(h = 2\) и \(\theta_1 = 56.3^\circ\), получаем:

\[\frac{{2}}{{\sin(56.3^\circ)}} = \frac{{x}}{{1}}\]

Применяя значения синуса, получаем:

\[\frac{{2}}{{0.8387}} = x\]

Вычисляя, получаем:

\[x \approx 2.39\]

Таким образом, ожидаемая длина тени, проецируемая водолазом на дне водоема, составляет примерно 2.39 метров. При округлении до сотых, окончательный ответ будет 2.39 метра.