Какая будет максимальная скорость движения и энергия маятника, если амплитуда колебаний груза массой 0,5 кг на пружине

Лия

43

Для решения этой задачи мы будем использовать соотношение между периодом колебаний маятника и его максимальной скоростью, а также формулу для расчета энергии маятника.

Период колебаний маятника \(T\) связан с его длиной \(L\) и ускорением свободного падения \(g\) следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

В данной задаче нам известна амплитуда колебаний \(A\) и жесткость пружины \(k\), но чтобы вычислить период, нам необходимо знать длину \(L\) маятника. Длину маятника можно найти, используя следующее соотношение:

\[A = \frac{L}{2}\]

С учетом данного соотношения мы можем преобразовать формулу для периода и получить выражение для максимальной скорости маятника \(v_{\text{max}}\):

\[v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{g}{L}}\]

Теперь, когда у нас есть формула для максимальной скорости маятника, мы можем рассчитать ее значение, используя данные из задачи.

Для начала необходимо преобразовать единицы жесткости пружины из Н/см в Н/м. Так как 1 м = 100 см, то

\[k = 50 \: \text{Н/см} = 50 \times 100 \: \text{Н/м} = 5000 \: \text{Н/м}\]

Теперь мы можем вставить данное значение жесткости пружины в формулу для максимальной скорости маятника:

\[v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{g}{L}}\]

Чтобы найти максимальную скорость маятника, нам также необходимо знать ускорение свободного падения \(g\). Обычно в задачах используется \(g = 9,8 \: \text{м/с}^2\).

Подставим значения всех известных величин в формулу:

\[v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{g}{L}} = 0,5 \: \text{м} \times \sqrt{\frac{9,8 \: \text{м/с}^2}{L}}\]

Теперь нам осталось найти значение длины \(L\) маятника. Мы знаем, что амплитуда колебаний \(A\) связана с половиной длины маятника \(L\) следующим образом:

\[A = \frac{L}{2}\]

Решим это уравнение относительно \(L\):

\[L = 2A = 2 \times 0,5 \: \text{м} = 1 \: \text{м}\]

Теперь мы можем вставить значение длины маятника в формулу для максимальной скорости:

\[v_{\text{max}} = 0,5 \: \text{м} \times \sqrt{\frac{9,8 \: \text{м/с}^2}{1 \: \text{м}}} = 0,5 \: \text{м} \times \sqrt{9,8 \: \text{м/с}^2} \approx 0,5 \: \text{м} \times 3,13 \: \text{м/с} \approx 1,57 \: \text{м/с}\]

Таким образом, максимальная скорость маятника составляет примерно \(1,57 \: \text{м/с}\).

Теперь перейдем к расчету энергии маятника.

Энергия \(E\) маятника в любой точке колебаний равна сумме его кинетической энергии \(K\) и потенциальной энергии \(U\):

\[E = K + U\]

В данной задаче нас интересует энергия маятника в его максимальной точке. Когда маятник находится в максимальной точке, его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна.

Потенциальная энергия маятника связана с его массой \(m\) и амлитудой колебаний \(A\) следующим образом:

\[U = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)\]

Так как маятник находится в максимальной точке, то \(x = A\):

\[U = \frac{1}{2}k(A^2 - A^2) = 0\]

Следовательно, в максимальной точке колебаний маятника его энергия состоит только из потенциальной энергии и равна нулю.

Таким образом, энергия маятника в его максимальной точке равна нулю.