Какая будет максимальная скорость шарика, если он будет отпущен после наполнения его воздухом? Обратите внимание

Izumrud

44

Чтобы определить максимальную скорость шарика после того, как он будет отпущен и начнет терять воздух, нам понадобится применить закон сохранения энергии.

Для начала, давайте рассмотрим полную механическую энергию системы перед отпусканием шарика. Полная механическая энергия (E) включает кинетическую энергию (К) и потенциальную энергию (П) шарика, а также энергию, связанную с газом внутри шарика.

Перед отпусканием шарика, его кинетическая энергия и потенциальная энергия равны нулю, поскольку он находится в покое. Энергия, связанная с газом, будет представлять собой работу, совершенную для надувания шарика как объемный шар - \(W = PV\), где \(P\) - давление газа, а \(V\) - его объем.

Следующим шагом является формулировка закона сохранения энергии. Закон сохранения энергии утверждает, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если нет других внешних сил, совершающих работу или передающих энергию. В данном случае, перед отпусканием и после, единственной силой, совершающей работу, является работа, совершаемая газом при его вытекании.

Итак, полная механическая энергия шарика после его отпускания будет состоять из кинетической энергии шарика и энергии, связанной с газом внутри шарика. Поскольку рассматриваемое действие происходит в открытом состоянии, поршни работать не будут, а значит, абсолютная температура не изменится.

Таким образом, закон сохранения энергии может быть записан следующим образом:

\[E_1 = E_2\]

Перед отпусканием шарика (состояние 1), его кинетическая энергия и потенциальная энергия равны нулю, а энергия, связанная с газом, равна работе, совершенной газом:

\[E_1 = 0 + 0 + W = W\]

После отпускания шарика (состояние 2), кинетическая энергия шарика будет равной \(\frac{1}{2}mv^2\), где \(m\) - масса шарика и \(v\) - его скорость, а энергия, связанная с газом, уменьшится за счет вытекания газа:

\[E_2 = \frac{1}{2}mv^2 + 0\]

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[W = \frac{1}{2}mv^2\]

Теперь, зная, что работа газа равна произведению его давления на объем, и заметив, что объем шарика остается неизменным, мы можем записать следующее:

\[PV = \frac{1}{2}mv^2\]

Используя формулу \(P = \frac{F}{A}\), где \(F\) - сила и \(A\) - площадь, и заменяя обозначение для давления газа в формуле для работы, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[\frac{F}{A}V = \frac{1}{2}mv^2\]

Сокращая \(V\) с обеих сторон уравнения и заменяя \(F\) на \(ma\) (сила равна массе умноженной на ускорение), мы получим:

\(ma = \frac{1}{2}mv^2\)

Сокращая массу с обеих сторон уравнения, получим следующее уравнение для определения максимальной скорости шарика:

\[a = \frac{1}{2}v^2\]

Теперь, зная начальное ускорение \(a\) (равное ускорению свободного падения \(g\)) и решив уравнение относительно \(v\), мы можем найти максимальную скорость шарика:

\[\frac{1}{2}v^2 = g\]

\[v^2 = 2g\]

\[v = \sqrt{2g}\]

Таким образом, максимальная скорость шарика будет равна корню из удвоенного ускорения свободного падения, или \(\sqrt{2g}\).

Учтите, что в данном случае мы не учитываем сопротивление воздуха, что может повлиять на фактическую скорость шарика.