Какая будет третья координата орта вектора, указывающего направление, в котором функция u = 2^x - y^2 + z убывает

Sambuka

30

Чтобы найти третью координату орта вектора, указывающего направление, в котором функция убывает наиболее быстро в заданной точке, нам необходимо рассмотреть градиент функции в этой точке. Градиент функции — это вектор, который указывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Чтобы найти орт этого вектора, мы должны найти нормализованный вектор, направление которого совпадает с направлением градиента функции.

По определению, градиент функции \( \nabla f(x,y,z) \) в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) равен вектору, состоящему из его частных производных по каждой переменной. Для данной функции \( u = 2^x - y^2 + z \), градиент будет следующим:

\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]

Давайте вычислим его пошагово. Сначала найдем частную производную по \( x \):

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cdot 2^x \]

Затем найдем частную производную по \( y \):

\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \]

Наконец, найдем частную производную по \( z \):

\[ \frac{\partial u}{\partial z} = 1 \]

Теперь объединим все вычисленные значения частных производных:

\[ \nabla u = \left( 2 \cdot 2^x, -2y, 1 \right) \]

Для определения орта вектора градиента в точке \( M(1, y_0, z_0) \), нам нужно нормализовать этот вектор, делением его на его длину. Длина вектора градиента вычисляется по следующей формуле:

\[ ||\nabla u|| = \sqrt{(2 \cdot 2^x)^2 + (-2y)^2 + 1^2} \]

Подставив значения \( x = 1, y = y_0, z = z_0 \), мы получим длину вектора градиента в данной точке. Затем делим вектор градиента на его длину, чтобы получить орт этого вектора.