Какая будет установившаяся температура точки в соединении стержней, если два резервуара поддерживают разные температуры

Тайсон

34

Для решения данной задачи нам потребуется закон Фурье о теплопроводности. Согласно этому закону, плотность потока тепла, передаваемого через единицу времени и площадь поперечного сечения теплопроводящего стержня, пропорциональна разности температур на его концах. Формула для этого закона записывается следующим образом:

\[q = - k \cdot A \cdot \frac{{dT}}{{dx}}\],

где \(q\) - плотность потока тепла, \(k\) - коэффициент теплопроводности материала стержня, \(A\) - площадь поперечного сечения стержня, \(dT\) - изменение температуры стержня вдоль его длины \(dx\).

Мы можем применить эту формулу для каждого из стержней, предполагая, что они имеют одинаковую длину \(L\) и одинаковый коэффициент теплопроводности \(k\). Обозначим температуру нагревателя как \(T_h\), температуру холодильника как \(T_c\), и искомую температуру точки соединения стержней как \(T\).

Рассмотрим первый стержень. По закону Фурье, плотность потока тепла в начале стержня равна \(q_1 = - k \cdot A \cdot \frac{{(T - T_h)}}{{L/2}}\), а в конце стержня - \(q_2 = - k \cdot A \cdot \frac{{(T_c - T)}}{{L/2}}\). Так как система теплопроводности теплоизолирована, плотности потока тепла входящего и выходящего должны быть равными. То есть, \(q_1 = q_2\). Подставим значения плотностей потока тепла и решим уравнение:

\[- k \cdot A \cdot \frac{{(T - T_h)}}{{L/2}} = - k \cdot A \cdot \frac{{(T_c - T)}}{{L/2}}\].

Упростив уравнение, получаем:

\[(T - T_h) = (T_c - T)\].

Теперь рассмотрим второй стержень (тот, что соединяет концы двух стержней). По аналогии с предыдущим стержнем, плотность потока тепла на этом стержне можно записать как:

\[q_3 = - k \cdot A \cdot \frac{{(T_c - T)}}{{L/2}}\].

Учитывая, что плотности потока тепла входящего и выходящего должны быть равными, имеем:

\[q_3 = q_2\].

Подставляем значения плотностей потока тепла и решаем уравнение:

\[- k \cdot A \cdot \frac{{(T_c - T)}}{{L/2}} = - k \cdot A \cdot \frac{{(T - T_c)}}{{L/2}}\].

Упростив уравнение, получаем:

\[(T - T_c) = (T_c - T)\].

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
T - T_h &= T_c - T \\
T - T_c &= T_c - T \\
\end{align*}
\]

Решая эту систему, мы находим:

\[
\begin{align*}
2T - T_h &= T_c \\
2T - T_c &= T_c \\
\end{align*}
\]

Отсюда следует, что \(T = \frac{{T_h + T_c}}{2}\).

Теперь мы можем решить задачу, подставив изначальные значения температур. Допустим, нагреватель имеет температуру \(T_h = 100^\circ C\), а холодильник - \(T_c = 0^\circ C\). Подставляем значения в формулу:

\[T = \frac{{100 + 0}}{2} = 50^\circ C\].

Таким образом, установившаяся температура точки в соединении стержней будет равна \(50^\circ C\).