Какая была истинная скорость пешехода, если он должен был пройти расстояние в 9 км, но увеличил скорость на 2 км/ч

Yascherka_6339

55

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы убедиться, что понимание будет максимальным.

Пусть истинная скорость пешехода равна \(v\) км/ч. Тогда мы знаем, что пешеход должен пройти расстояние в 9 км.

На первом этапе пешеход идет со своей истинной скоростью \(v\) км/ч. Если доставаться на место так быстро, закончим путь ровно через \(t_1\) часов. Мы можем найти \(t_1\) используя формулу \(t=\frac{d}{v}\), где \(d\) - расстояние, а \(v\) - скорость. Таким образом, первый этап занимает время \(t_1 = \frac{9}{v}\) часов.

На втором этапе пешеход увеличивает свою скорость на 2 км/ч. Теперь его скорость равна \((v+2)\) км/ч. Он достигает своего пункта назначения на 45 минут (или \(0.75\) часа) раньше. Итак, время, затраченное на второй этап, составляет \(t_2 = t_1 - 0.75\) часов.

На втором этапе пешеход движется с новой скоростью \((v+2)\) км/ч. Используя формулу \(t=\frac{d}{v}\) снова, получаем \(t_2 = \frac{9}{v+2}\) часов.

Мы знаем, что \(t_2 = t_1 - 0.75\), поэтому подставим значения и решим уравнение:

\(\frac{9}{v+2} = \frac{9}{v} - 0.75\)

Для начала, упростим это уравнение, умножив обе части на \(v(v+2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\(9v = 9(v+2) - 0.75v(v+2)\)

Раскроем скобки:

\(9v = 9v + 18 - 0.75v^2 - 1.5v\)

Припишем все члены уравнения на одну сторону и упростим:

\(0 = - 0.75v^2 - 1.5v + 18\)

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем решить его, найдя его корни с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где у нас квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\).

Здесь значения \(a = -0.75\), \(b = -1.5\) и \(c = 18\). Подставим эти значения и вычислим дискриминант:

\(D = (-1.5)^2 - 4(-0.75)(18)\)

\(D = 2.25 + 54\)

\(D = 56.25\)

Дискриминант \(D\) равен 56.25.

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения в формулу и решим:

\(v = \frac{-(-1.5) \pm \sqrt{56.25}}{2(-0.75)}\)

\(v = \frac{1.5 \pm 7.5}{-1.5}\)

Получим два корня:

\(v_1 = \frac{1.5 + 7.5}{-1.5} = \frac{9}{-1.5} = -6\)

\(v_2 = \frac{1.5 - 7.5}{-1.5} = \frac{-6}{-1.5} = 4\)

Обратите внимание, что в этом контексте отрицательная скорость не имеет смысла, поэтому отбросим отрицательное значение \(v_1\) и примем истинную скорость пешехода \(v = 4\) км/ч.

Итак, истинная скорость пешехода, чтобы пройти расстояние в 9 км и закончить путь на 45 минут быстрее, составляет \(4\) км/ч.