Какова вероятность события, противоположного событию орел не выпал ни разу ? Какова вероятность события

Артём

34

Давайте посмотрим на каждую задачу по очереди.

Задача 1: Какова вероятность события, противоположного событию "орел не выпал ни разу"?

Для решения этой задачи нам нужно сначала вычислить вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз. Для этого мы можем использовать противоположное событие, то есть вероятность того, что орёл не выпадет ни разу, обозначим это событие как \(A\). Затем мы можем вычислить вероятность события, противоположного \(A\), то есть вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз, обозначим это событие как \(B\).

Чтобы вычислить вероятность события \(A\), нужно знать, что вероятность не выпадения орла ни разу равна вероятности выпадения решки каждый раз. Предположим, что монета симметричная и имеет две равновероятные стороны. Тогда вероятность выпадения решки равна \(0.5\). Таким образом, вероятность события \(A\) равна \(0.5\).

Теперь, чтобы найти вероятность события \(B\), мы можем использовать простое равенство: \(P(B) = 1 - P(A)\). Подставив значение вероятности события \(A\), получим \(P(B) = 1 - 0.5 = 0.5\). Таким образом, вероятность события, противоположного событию "орел не выпал ни разу", равна \(0.5\).

Задача 2: Какова вероятность события, противоположного событию "орел выпал неизвестное количество раз, но точно не 2 раза"?

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть все возможные исходы. Предположим, что мы бросаем монету несколько раз. Исходы могут быть следующими: орел выпал 0 раз, орел выпал 1 раз, орел выпал 3 раза, орел выпал 4 раза и так далее. Мы знаем, что орел точно не выпал 2 раза, поэтому нам нужно рассмотреть все остальные исходы.

Теперь давайте посчитаем суммарную вероятность всех этих исходов. Поскольку количество различных исходов конечно, мы можем просто сложить вероятности каждого исхода.

Предположим, что монета симметричная и имеет вероятность выпадения орла или решки равную \(0.5\). Тогда вероятность того, что орел выпадет 0 раз, равна \(0.5^0 = 1\), вероятность того, что орел выпадет 1 раз, также равна \(0.5^1 = 0.5\), а вероятность того, что орел выпадет 3 раза равна \(0.5^3 = 0.125\). Нам нужно сложить вероятности всех исходов, кроме исхода с 2 орлами.

Получается \(P(B) = 1 + 0.5 + 0.125 + \ldots\). Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом \(a = 1\) и знаменателем \(q = 0.5\). Мы можем вычислить сумму этой прогрессии, используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2\]

Таким образом, вероятность события, противоположного событию "орел выпал неизвестное количество раз, но точно не 2 раза", равна \(2\).

Задача 3: Какова вероятность события, противоположного событию "решка выпала менее 4 раз"?

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть все исходы, в которых решка выпадает больше или равно 4 разам. Поскольку нам известно, что в любом случае сумма выпадений орла и решки равна 6 (так как количество бросков равно 6), мы можем внимательно рассмотреть только исходы, где решка выпадает 4, 5 или 6 раз.

Вычислим вероятность каждого из этих исходов. Предположим, что монета симметричная и имеет вероятность выпадения орла или решки равную \(0.5\).

Вероятность того, что решка выпадет 4 раза, равна \(C_6^4 \times (0.5)^4 \times (0.5)^2 = \frac{6!}{4! \times 2!} \times 0.5^4 \times 0.5^2\).

Аналогично, вероятность выпадения решки 5 раз равна \(C_6^5 \times (0.5)^5 \times (0.5)^1 = \frac{6!}{5! \times 1!} \times 0.5^5 \times 0.5^1\).

Наконец, вероятность выпадения решки 6 раз равна \(C_6^6 \times (0.5)^6 \times (0.5)^0 = \frac{6!}{6! \times 0!} \times 0.5^6 \times 0.5^0\).

Теперь мы можем сложить вероятности каждого из этих исходов:

\(P(B) = \text{вероятность выпадения решки 4 раза} + \text{вероятность выпадения решки 5 раз} + \text{вероятность выпадения решки 6 раз}\).

Расчеты видны выше. Пожалуйста, произведите соответствующие вычисления, чтобы получить результат.