Какая длина образующей цилиндра, если она на 12 см больше радиуса его основания и площадь его полной поверхности

Борис

58

Давайте решим эту задачу пошагово:

1. Пусть \(r\) - радиус основания цилиндра.
2. Тогда длина образующей цилиндра будет равна \(r + 12\) см.
3. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности. Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2\), а площадь боковой поверхности равна \(2\pi r \cdot (r + 12)\).
4. Суммируя площадь основания и боковой поверхности, мы получаем уравнение: \(\pi r^2 + 2\pi r \cdot (r + 12) = 128\).
5. Давайте решим это уравнение. Сначала упростим его: \(\pi r^2 + 2\pi r^2 + 24\pi r = 128\).
6. Объединяем похожие члены и получаем: \(3\pi r^2 + 24\pi r = 128\).
7. Выносим общий множитель, получаем: \(r(3\pi r + 24\pi) = 128\).
8. Делим обе стороны на \(3\pi\), получаем: \(r^2 + 8r = \frac{128}{3\pi}\).
9. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приводим его к стандартному виду: \(r^2 + 8r - \frac{128}{3\pi} = 0\).
10. Решаем квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или использовать факторизацию. Пусть значением корня будет \(r_1\).
11. Так как радиус не может быть отрицательным, выбираем положительное значение для \(r_1\).
12. Теперь, чтобы найти длину образующей цилиндра, прибавляем 12 см к радиусу: \(r_1 + 12\).

Таким образом, чтобы решить эту задачу, нужно найти корень квадратного уравнения и затем добавить 12 см к его значению.