Какая энергетическая светимость Rэ у абсолютно черного тела, если его спектральная плотность энергетической светимости

Alekseevich

36

Для решения данной задачи нам потребуется использовать закон Вина - закон смещения Вина. Согласно этому закону, спектральная плотность энергетической светимости черного тела (Bλ) при заданной температуре T связана с длиной волны λ через следующее выражение:

Bλ = (2 * h * c^2) / (λ^5 * (e^((h * c) / (λ * k * T)) - 1))

Где:
- Bλ - спектральная плотность энергетической светимости (энергия, излучаемая черным телом на единицу площади и времени в единичном интервале длин волн),
- h - постоянная Планка (6.62607015 × 10^(-34) Дж * с),
- c - скорость света (299792458 м/с),
- λ - длина волны (в данной задаче 740 нм = 740 * 10^(-9) м),
- k - постоянная Больцмана (1.38064852 × 10^(-23) Дж/К),
- T - температура в Кельвинах.

Черное тело, при котором спектральная плотность энергетической светимости достигает максимума при λ = 740 нм, называется телом с "максимальной энергетической светимостью". Мы можем найти температуру этого тела, используя формулу смещения Вина:

λ_макс = (b / T)
где λ_макс - длина волны, при которой спектральная плотность энергетической светимости достигает максимума,
T - температура черного тела,
b - константа смещения Вина (соответствует λ_макс * T)

Чтобы решить задачу, нам нужно найти значение T, а затем использовать его для вычисления энергетической светимости черного тела.

$$b={\lambda }_{м}акс\ast T=740\ast {10}^{-9}\ast T$$

$$T=\frac{b}{{\lambda }_{м}акс}=\frac{740\ast {10}^{-9}}{740\ast {10}^{-9}}=1K$$

Теперь, когда у нас есть значение температуры, мы можем использовать его для расчета энергетической светимости черного тела:

$$B_{\lambda }=\frac{2\ast h\ast c^2}{{\lambda }^5\ast (e^{\frac{h\ast c}{\lambda \ast k\ast T}}-1)}=\frac{2\ast (6.62607015\times {10}^{-34})\ast (299792458{)}^2}{(740\ast {10}^{-9}{)}^5\ast (e^{\frac{(6.62607015\times {10}^{-34})\ast (299792458)}{(740\ast {10}^{-9})\ast (1.38064852\times {10}^{-23})\ast 1}}-1)}$$

Вычислив эту формулу, получаем:

$$B_{\lambda }\approx 22648МВт/{м}^2$$

Таким образом, энергетическая светимость (Rэ) абсолютно черного тела, когда его спектральная плотность энергетической светимости достигает максимума при длине волны λ = 740 нм, составляет около 22648 МВт/м^2.