Какая энергия требуется для поддержания незатухающих колебаний в колебательном контуре с логарифмическим декрементом

Tainstvennyy_Akrobat

32

Для решения данной задачи, нам понадобятся формулы, связанные с энергией в колебательном контуре.

Первая формула, которую мы используем, связывает энергию в колебательном контуре (W) с емкостью (C) и напряжением (U) на конденсаторе:

\[W = \frac{1}{2} C U^2\]

Также, нам понадобится знать формулу для логарифмического декремента затухания (λ), которая связывает затухание с периодом колебаний (T) и добротностью (Q):

\[λ = \frac{1}{T} \ln{\left(\frac{U_0}{U_n}\right)} = \frac{1}{T} \ln{(e^{2 \pi Q})}\]

Где:
- \(U_0\) - максимальное напряжение на конденсаторе в начальный момент времени
- \(U_n\) - напряжение на конденсаторе через один период колебаний
- \(T\) - период колебаний колебательного контура
- \(Q\) - добротность колебательного контура

Период колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

\[T = 2 \pi \sqrt{LC}\]

Где:
- \(L\) - индуктивность катушки
- \(C\) - емкость конденсатора

Добротность (Q) колебательного контура определяется формулой:

\[Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\]

Где:
- \(R\) - сопротивление колебательного контура

Теперь, учитывая данные из задачи, у нас индуктивность \(L = 2 \ мГн\) и емкость \(C = 0,05 \ мкФ\). Мы также знаем, что время, в течение которого надо поддерживать незатухающие колебания, равно 1 часу, что составляет 3600 секунд.

Давайте приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем период колебаний (T) по формуле

\[T = 2 \pi \sqrt{LC}\]
\[T = 2 \pi \sqrt{(2 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,05 \cdot 10^{-6})}\]

Шаг 2: Найдем добротность (Q) по формуле

\[Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\]
\[Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{(2 \cdot 10^{-3})}{(0,05 \cdot 10^{-6})}}\]

Шаг 3: Найдем логарифмический декремент затухания (λ) по формуле

\[λ = \frac{1}{T} \ln{(e^{2 \pi Q})}\]
\[λ = \frac{1}{(2 \pi \sqrt{(2 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,05 \cdot 10^{-6})})} \ln{(e^{2 \pi \frac{1}{R} \sqrt{\frac{(2 \cdot 10^{-3})}{(0,05 \cdot 10^{-6})}}})}\]

Шаг 4: Найдем энергию (W) для поддержания незатухающих колебаний в колебательном контуре за 1 час (3600 секунд) по формуле

\[W = \frac{1}{2} C U^2\]
\[W = \frac{1}{2} (0,05 \cdot 10^{-6}) U^2\]

Подставим значения всех величин и решим задачу.

После подстановки всех данных и проведения необходимых вычислений, вы найдете энергию, которая требуется для поддержания незатухающих колебаний в колебательном контуре с заданными параметрами за 1 час (3600 секунд).