Какая функция F(x) является первообразной функции f(x)=3x и проходит через точку M(log32;1ln3)?

Пятно

28

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) функции \( f(x) = 3x \), мы должны интегрировать \( f(x) \). Чтобы это сделать, мы будем использовать формулу интеграла:

\[ F(x) = \int f(x) \, dx \]

В данном случае, мы интегрируем функцию \( f(x) = 3x \). При интегрировании, мы должны учесть постоянную \( C \), так как при интегрировании мы получаем семейство функций.

Таким образом, получаем:

\[ F(x) = \int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2 + C \]

Теперь нам нужно найти постоянную \( C \). Для этого мы будем использовать информацию о точке \( M(\log_{3}{2}, \ln{3}) \).

Так как функция \( F(x) \) проходит через точку \( M(\log_{3}{2}, \ln{3}) \), мы можем подставить значения \( x \) и \( y \) в \( F(x) \) и решить уравнение для постоянной \( C \):

\[ \ln{3} = \frac{3}{2}\log_{3}{2}^2 + C \]

Решим это уравнение, выражая \( C \):

\[ C = \ln{3} - \frac{3}{2}\log_{3}{2}^2 \]

Теперь у нас есть окончательный ответ:

\[ F(x) = \frac{3}{2}x^2 + \ln{3} - \frac{3}{2}\log_{3}{2}^2 \]

Это функция \( F(x) \), которая является первообразной для функции \( f(x) = 3x \) и проходит через точку \( M(\log_{3}{2}, \ln{3}) \).