Какая индуктивность колебательного контура обеспечит период свободных колебаний в размере 0,2 мкс при ёмкости

Кроша

30

Задача: Какая индуктивность колебательного контура обеспечит период свободных колебаний в размере 0,2 мкс при ёмкости конденсатора в значениях 20 мкФ?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для периода свободных колебаний \(T\) колебательного контура, которая выражается следующим образом:

\[T = 2\pi\sqrt{LC}\]

где \(L\) обозначает индуктивность контура, а \(C\) - его ёмкость.

Мы знаем, что период колебаний \(T\) равен 0,2 мкс (микросекундам), а ёмкость \(C\) равна 20 мкФ (микрофарадам). Теперь мы можем подставить известные значения в формулу и найти индуктивность \(L\).

\[0,2 \times 10^{-6} = 2\pi\sqrt{L \times 20 \times 10^{-6}}\]

Давайте по шагам решим это уравнение для неизвестной индуктивности \(L\):

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[(0,2 \times 10^{-6})^2 = (2\pi)^2 \cdot L \cdot (20 \times 10^{-6})\]

2. Упростим правую часть уравнения:
\[0,04 \times 10^{-12} = 4\pi^2 \cdot L \cdot 10^{-6}\]

3. Разделим обе части уравнения на \(4\pi^2 \cdot 10^{-6}\) для изолирования неизвестной индуктивности \(L\):
\[\frac{0,04 \times 10^{-12}}{4\pi^2 \cdot 10^{-6}} = L\]

4. Упростим выражение в левой части уравнения:
\[\frac{0,04 \times 10^{-12}}{4\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,04}{4\pi^2} \times 10^{-12-(-6)} = \frac{1}{4\pi^2} \times 10^{-6} = \frac{10^{-6}}{4\pi^2}\]

т. е.
\[L = \frac{10^{-6}}{4\pi^2}\]

Округлим значение индуктивности до разумных пределов.

Ответ: Индуктивность колебательного контура, обеспечивающая период свободных колебаний в размере 0,2 мкс при ёмкости конденсатора в 20 мкФ, составляет приблизительно \(\frac{1}{4\pi^2} \times 10^{-6}\) генри.