Какая магнитная индукция будет в точках, находящихся на биссектрисе угла, если по бесконечно длинному прямому проводу

Medvezhonok

70

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет вычислить магнитное поле от тока в проводнике.

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что элементарное магнитное поле \(d\vec{B}\), создаваемое элементом провода \(d\vec{l}\) с протекающим через него током \(I\), определяется следующим выражением:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{4\pi r^3}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(r\) - расстояние от элемента провода до точки, в которой мы хотим определить магнитное поле, \(\vec{r}\) - направление от элемента провода до данной точки, а \(\times\) обозначает векторное произведение.

Для провода, согнутого под углом 120°, мы можем разделить его на два элемента провода с углами 60° каждый (половину открывшийся угол).

Мы будем рассматривать точки, находящиеся на биссектрисе угла, в предположении, что они находятся на расстоянии \(r_1\) и \(r_2\) от вершины угла.

Начнем с рассмотрения элемента провода \(d\vec{l}_1\), который находится на расстоянии \(r_1\) от точки на биссектрисе угла. Рассмотрим угол \(\theta_1\) между элементом провода и направлением от элемента провода до этой точки. Тогда мы можем записать:

\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l}_1 \times \vec{r}_1}}{{4\pi r_1^3}}\]

Аналогично, для второго элемента провода \(d\vec{l}_2\), находящегося на расстоянии \(r_2\) от точки на биссектрисе угла, мы получаем:

\[d\vec{B}_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2}}{{4\pi r_2^3}}\]

Теперь рассмотрим отдельно каждый элемент провода. Так как ток \(I\) протекает через весь провод, у нас есть:

\[I = I_1 + I_2\]

где \(I_1\) - ток через элемент провода \(d\vec{l}_1\), а \(I_2\) - ток через элемент провода \(d\vec{l}_2\).

Так как провод согнут под углом 120°, мы можем применить правило Лаббе, которое гласит, что отношение длин элементов провода к синусу соответствующего угла равно константе. Тогда мы можем записать:

\(\frac{{d\vec{l}_1}}{{d\vec{l}_2}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}\)

Учитывая это, мы можем рассчитать \(I_2\) относительно \(I_1\):

\(I_2 = \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot I_1\)

Теперь мы можем выразить \(I_1\) относительно \(I\) и подставить это в наши выражения для магнитных полей \(d\vec{B}_1\) и \(d\vec{B}_2\):

\[d\vec{B}_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot d\vec{l}_1 \times \vec{r}_1}}{{4\pi r_1^3}}\]
\[d\vec{B}_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2}}{{4\pi r_2^3}}\]

Подставим значение \(I_2\):

\[d\vec{B}_2 = \frac{{\mu_0 \cdot \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot I_1 \cdot d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2}}{{4\pi r_2^3}}\]

Теперь заметим, что \(d\vec{l}_1 \times \vec{r}_1\) и \(d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2\) это векторные произведения элементов длины и радиус-векторов, которые направлены перпендикулярно друг другу. Поэтому:

\[d\vec{l}_1 \times \vec{r}_1 = r_1 \cdot d\vec{B}_1 \cdot \sin{\theta_1}\]
\[d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2 = r_2 \cdot d\vec{B}_2 \cdot \sin{\theta_2}\]

Теперь, чтобы найти магнитное поле в точках на биссектрисе угла, мы должны сложить вклады от обоих элементов провода.

Для этого проинтегрируем выражения \(d\vec{B}_1\) и \(d\vec{B}_2\) вдоль всего провода.

\[\vec{B}_1 = \int{d\vec{B}_1} = \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \int{\frac{{d\vec{l}_1 \times \vec{r}_1}}{{r_1^3}}}\]
\[\vec{B}_2 = \int{d\vec{B}_2} = \frac{{\mu_0 \cdot \frac{{r_2}}{{r_1}} \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \int{\frac{{d\vec{l}_2 \times \vec{r}_2}}{{r_2^3}}}\]

Здесь мы интегрируем по длине элементов провода \(d\vec{l}_1\) и \(d\vec{l}_2\).

Поскольку провод бесконечно длинный, все интегралы будут сводиться к интегралу по углу.

Наконец, можно рассчитать суммарное магнитное поле в точках на биссектрисе угла путем сложения магнитных полей от элементов провода:

\[\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2\]

Это даст нам окончательный ответ в виде вектора магнитной индукции, действующей в каждой точке. Важно также учесть единицу измерения.

Все вычисления и интегрирование могут быть достаточно сложными при решении вручную, поэтому я рекомендую использовать математические программы или калькуляторы для выполнения вычислений.