Какая магнитная индукция будет в точках, находящихся на биссектрисе угла, если по бесконечно длинному прямому проводу

Medvezhonok

70

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет вычислить магнитное поле от тока в проводнике.

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что элементарное магнитное поле $d\overrightarrow{B}$, создаваемое элементом провода $d\overrightarrow{l}$ с протекающим через него током $I$, определяется следующим выражением:

$$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0\cdot I\cdot d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{4\pi r^3}$$

где ${\mu }_0$ - магнитная постоянная, $r$ - расстояние от элемента провода до точки, в которой мы хотим определить магнитное поле, $\overrightarrow{r}$ - направление от элемента провода до данной точки, а $\times$ обозначает векторное произведение.

Для провода, согнутого под углом 120°, мы можем разделить его на два элемента провода с углами 60° каждый (половину открывшийся угол).

Мы будем рассматривать точки, находящиеся на биссектрисе угла, в предположении, что они находятся на расстоянии $r_1$ и $r_2$ от вершины угла.

Начнем с рассмотрения элемента провода $d{\overrightarrow{l}}_1$, который находится на расстоянии $r_1$ от точки на биссектрисе угла. Рассмотрим угол ${\theta }_1$ между элементом провода и направлением от элемента провода до этой точки. Тогда мы можем записать:

$$d{\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\mu }_0\cdot I\cdot d{\overrightarrow{l}}_1\times {\overrightarrow{r}}_1}{4\pi r_1^3}$$

Аналогично, для второго элемента провода $d{\overrightarrow{l}}_2$, находящегося на расстоянии $r_2$ от точки на биссектрисе угла, мы получаем:

$$d{\overrightarrow{B}}_2=\frac{{\mu }_0\cdot I\cdot d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2}{4\pi r_2^3}$$

Теперь рассмотрим отдельно каждый элемент провода. Так как ток $I$ протекает через весь провод, у нас есть:

$$I=I_1+I_2$$

где $I_1$ - ток через элемент провода $d{\overrightarrow{l}}_1$, а $I_2$ - ток через элемент провода $d{\overrightarrow{l}}_2$.

Так как провод согнут под углом 120°, мы можем применить правило Лаббе, которое гласит, что отношение длин элементов провода к синусу соответствующего угла равно константе. Тогда мы можем записать:

$\frac{d{\overrightarrow{l}}_1}{d{\overrightarrow{l}}_2}=\frac{r_1}{r_2}$

Учитывая это, мы можем рассчитать $I_2$ относительно $I_1$:

$I_2=\frac{r_2}{r_1}\cdot I_1$

Теперь мы можем выразить $I_1$ относительно $I$ и подставить это в наши выражения для магнитных полей $d{\overrightarrow{B}}_1$ и $d{\overrightarrow{B}}_2$:

$$d{\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1\cdot d{\overrightarrow{l}}_1\times {\overrightarrow{r}}_1}{4\pi r_1^3}$$
$$d{\overrightarrow{B}}_2=\frac{{\mu }_0\cdot I_2\cdot d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2}{4\pi r_2^3}$$

Подставим значение $I_2$:

$$d{\overrightarrow{B}}_2=\frac{{\mu }_0\cdot \frac{r_2}{r_1}\cdot I_1\cdot d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2}{4\pi r_2^3}$$

Теперь заметим, что $d{\overrightarrow{l}}_1\times {\overrightarrow{r}}_1$ и $d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2$ это векторные произведения элементов длины и радиус-векторов, которые направлены перпендикулярно друг другу. Поэтому:

$$d{\overrightarrow{l}}_1\times {\overrightarrow{r}}_1=r_1\cdot d{\overrightarrow{B}}_1\cdot \sin {\theta }_1$$
$$d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2=r_2\cdot d{\overrightarrow{B}}_2\cdot \sin {\theta }_2$$

Теперь, чтобы найти магнитное поле в точках на биссектрисе угла, мы должны сложить вклады от обоих элементов провода.

Для этого проинтегрируем выражения $d{\overrightarrow{B}}_1$ и $d{\overrightarrow{B}}_2$ вдоль всего провода.

$${\overrightarrow{B}}_1=\int d{\overrightarrow{B}}_1=\frac{{\mu }_0\cdot I_1}{4\pi }\cdot \int \frac{d{\overrightarrow{l}}_1\times {\overrightarrow{r}}_1}{r_1^3}$$
$${\overrightarrow{B}}_2=\int d{\overrightarrow{B}}_2=\frac{{\mu }_0\cdot \frac{r_2}{r_1}\cdot I_1}{4\pi }\cdot \int \frac{d{\overrightarrow{l}}_2\times {\overrightarrow{r}}_2}{r_2^3}$$

Здесь мы интегрируем по длине элементов провода $d{\overrightarrow{l}}_1$ и $d{\overrightarrow{l}}_2$.

Поскольку провод бесконечно длинный, все интегралы будут сводиться к интегралу по углу.

Наконец, можно рассчитать суммарное магнитное поле в точках на биссектрисе угла путем сложения магнитных полей от элементов провода:

$$\overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_1+{\overrightarrow{B}}_2$$

Это даст нам окончательный ответ в виде вектора магнитной индукции, действующей в каждой точке. Важно также учесть единицу измерения.

Все вычисления и интегрирование могут быть достаточно сложными при решении вручную, поэтому я рекомендую использовать математические программы или калькуляторы для выполнения вычислений.