Какая максимальная скорость должна быть у каждого туриста, чтобы они проехали одинаковое расстояние? На каком

Сладкий_Пони

25

Чтобы оба туриста проехали одинаковое расстояние, их скорости должны быть пропорциональными и обратно пропорциональными временам, затраченным на путешествие. Пусть первый турист совершает путешествие со скоростью \( v_1 \) и прибывает в областной центр через \( t_1 \) дней, а второй турист совершает путешествие со скоростью \( v_2 \) и прибывает в областной центр через \( t_2 \) дней.

Так как скорость прямо пропорциональна расстоянию и обратно пропорциональна времени, мы можем записать следующее соотношение:

\[ \frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{t_2}}{{t_1}} \]

Для того, чтобы оба туриста проехали одинаковое расстояние, их скорости должны быть в обратной пропорции, то есть:

\[ v_2 = \frac{{t_1}}{{t_2}} \cdot v_1 \]

Чтобы узнать наименьшее расстояние от пункта отправления до областного центра, при котором оба туриста прибудут туда за целое число дней, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел \( t_1 \) и \( t_2 \). Обозначим НОК чисел \( t_1 \) и \( t_2 \) как \( T \).

Тогда первый турист пройдет расстояние \( v_1 \cdot t_1 \) за \( T \) дней, а второй турист пройдет расстояние \( v_2 \cdot t_2 \) за \( T \) дней. Оба расстояния должны быть одинаковы, поэтому:

\[ v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2 \]

Мы уже выразили \( v_2 \) через \( v_1 \) и \( t_1 \) через \( t_2 \), поэтому мы можем подставить их в это уравнение:

\[ v_1 \cdot t_1 = \left( \frac{{t_1}}{{t_2}} \cdot v_1 \right) \cdot t_2 \]

Упрощаем:

\[ t_1 = t_2 \]

Таким образом, чтобы оба туриста прибыли в областной центр за целое число дней, необходимо, чтобы значения \( t_1 \) и \( t_2 \) были равными.

Теперь давайте рассмотрим время пути для каждого туриста. Время пути можно выразить как отношение расстояния к скорости:

Время пути первого туриста:

\[ t_1 = \frac{{v_1 \cdot d}}{{v_1}} = d \]

Время пути второго туриста:

\[ t_2 = \frac{{v_2 \cdot d}}{{v_2}} = d \]

Где \( d \) - расстояние от пункта отправления до областного центра.

Таким образом, время пути для обоих туристов равно \( d \), независимо от их скоростей.