Какая ненулевая цифра первая встречается, если мы зачеркиваем все нули с конца числа 99!?

Ивановна

18

Чтобы решить эту задачу, мы должны вычислить факториал числа 99 и удалить все нули с конца этого числа. Факториал числа обозначается символом "!".

Факториал числа 99 (99!) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до 99:

\[99! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 99\]

Очевидно, что в этом произведении содержится множество нулей, потому что для получения нуля необходимо умножить любое число на 10, а 10 является произведением 2 и 5.

Теперь нам нужно узнать, сколько нулей оканчивает факториал числа 99. Для этого рассмотрим множители, которые входят в это произведение. Каждое число, которое может дать ноль в конечном результате, должно иметь два множителя: 2 и 5.

Рассмотрим множители, которые встречаются в произведении:

- Множители, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, ...
- Множители, кратные 5: 5, 10, 15, 20, ...

Очевидно, что множитель 10 (который является произведением 2 и 5) даст один ноль. Также заметим, что кратными 2 являются более чем числа, кратные 5. Значит, ровно столько нулей будет в результате, сколько множителей 5 входит в произведение.

Теперь нам необходимо подсчитать количество пятерок в промежутке от 1 до 99. Рассмотрим каждое число от 1 до 99 и подсчитаем количество пятерок, которые входят в его разложение на простые множители.

В промежутке от 1 до 99 есть числа, которые содержат только одну пятерку (5, 15, 25, 35, ...). Ровно одна пятерка входит в разложение каждого из этих чисел.

Также есть числа, которые содержат две пятерки (10, 20, 30, 40, ...). Ровно две пятерки входят в разложение каждого из этих чисел.

Есть также числа, которые содержат три пятерки (25, 50, 75).

Таким образом, мы должны учесть все числа от 1 до 99, которые содержат пятерки в своем разложении на простые множители. Подсчитаем:

- Числа, содержащие одну пятерку: 5, 15, 25, ..., 95 (их всего 19).
- Числа, содержащие две пятерки: 10, 20, 30, ..., 90 (их всего 9).
- Числа, содержащие три пятерки: 25, 50, 75 (их всего 3).

Всего мы учли 19 + 9 + 3 = 31 пятерку.

Таким образом, факториал числа 99 содержит 31 ноль в конце. Наша задача - определить первую ненулевую цифру числа, поэтому мы можем просто удалить все нули с конца факториала числа 99 и найти первую ненулевую цифру.

Удалим 31 ноль с конца факториала числа 99.

Окончательный результат будет иметь вид ненулевой цифры, за которой нет нулей. Конечный результат будет иметь в первой позиции 1, 2, 3 или 4, так как после 4-х нулей идет не нульная цифра.

Таким образом, первая ненулевая цифра, которая встречается при удалении всех нулей с конца числа 99!, будет первой цифрой числа 4.

Итак, первая ненулевая цифра, которая встречается после удаления всех нулей с конца числа 99!, - это число 4.