Какая область определения у функции y=ctg 3x/5?

Elisey_2996

37

Для определения области определения функции \(y = \cot \frac{3x}{5}\), мы должны учесть все значения \(x\), при которых функция имеет смысл и не вызывает деления на ноль.

Функция котангенс является обратной к тангенсу, поэтому для начала определим область определения тангенса \(\tan \frac{3x}{5}\). Так как тангенс является периодической функцией с периодом \(\pi\), мы можем рассматривать значения \(x\) только в пределах одного периода, например, от \(-\pi\) до \(\pi\).

Однако, для избежания деления на ноль, мы должны исключить значения \(x\), при которых тангенс равен бесконечности. Тангенс равен бесконечности при \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Чтобы определить значения \(x\), при которых тангенс равен нулю, нужно приравнять \(3x/5\) к целому числу полупериода тангенса, т. е. \(\frac{\pi}{2}\), и решить уравнение:

\[\frac{3x}{5} = \frac{\pi}{2} + k\pi\]

Решая это уравнение, получим значение \(x = \frac{5}{3} (\frac{\pi}{2} + k\pi)\), где \(k\) - целое число.

Итак, область определения функции \(y = \cot \frac{3x}{5}\) будет включать в себя все значения \(x\) в пределах одного периода тангенса, за исключением значений, при которых тангенс равен бесконечности или нулю.

Общее выражение для области определения будет выглядеть следующим образом:
\[D = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \neq \frac{5}{3} \left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) \text{где } k \in \mathbb{Z} \right\}\]

Пожалуйста, обратите внимание, что в этом ответе мы рассматривали только значения \(x\) в пределах одного периода тангенса. Если вам нужно рассмотреть значения \(x\) за пределами этого периода, то общее выражение для области определения может измениться соответственно.