Где находится точка максимума функции f(x) при условии f´ (x)=(x+6)(x-4)?

Магический_Самурай

7

Чтобы найти точку максимума функции, мы должны сначала найти её производную и приравнять её к нулю. В данном случае у нас дана производная функции \(f"(x) = (x+6)(x-4)\), и нам нужно найти точку, где она равна нулю.

Приравняем производную к нулю и решим получившееся уравнение:

\[(x+6)(x-4) = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать свойство нулевого произведения, которое гласит: если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел должно быть равно нулю.

Таким образом, мы имеем два возможных случая:

1) \(x+6 = 0\): решая это уравнение, мы получаем \(x = -6\).
2) \(x-4 = 0\): решая это уравнение, мы получаем \(x = 4\).

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: \(-6\) и \(4\).

Чтобы определить, является ли каждая из этих точек точкой максимума или минимума, нам нужно проанализировать поведение функции в окрестности этих точек.

Поскольку производная \(f"(x) = (x+6)(x-4)\), меняет знак с отрицательного на положительный при \(x < -6\) и с положительного на отрицательный при \(x > 4\), мы можем сделать вывод, что функция имеет локальный максимум в точке \(x = -6\) и локальный минимум в точке \(x = 4\).

Таким образом, точка максимума функции \(f(x)\) находится при \(x = -6\).