Какая область значений имеет функция y=6+4x-2x^2? При каких значениях аргумента функция убывает?

Мартышка_3220

4

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

У нас дана функция \(y = 6 + 4x - 2x^2\) и мы хотим найти область значений этой функции, то есть все возможные значения \(y\) при различных значениях \(x\).

Шаг 1: Найдем дискриминант квадратного трехчлена \(2x^2 - 4x + 6\). Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты при \(x\) в уравнении квадратного трехчлена.

В нашем случае \(a = -2\), \(b = 4\) и \(c = 6\). Подставим значения в формулу и рассчитаем дискриминант:

\[D = (4)^2 - 4(-2)(6) = 16 + 48 = 64\]

Шаг 2: Определим тип графика квадратного трехчлена в зависимости от значения дискриминанта \(D\). Если \(D > 0\), то график функции имеет два вещественных корня и открывается вверх. Если \(D = 0\), то график функции имеет один вещественный корень и является параболой. Если \(D < 0\), то график функции не имеет вещественных корней и не пересекает ось \(x\).

В нашем случае \(D = 64\), что больше нуля. Это означает, что график функции имеет два вещественных корня и открывается вверх.

Шаг 3: Найдем вершину параболы. Вершина параболы находится в точке с координатами \((h, k)\), где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\). В нашем случае \(a = -2\) и \(b = 4\), поэтому

\[h = -\frac{4}{2(-2)} = 1\]

Теперь найдем значение функции при \(x = 1\):

\[k = 6 + 4(1) - 2(1)^2 = 6 + 4 - 2 = 8\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, 8)\).

Шаг 4: Определим, при каких значениях аргумента \(x\) функция убывает. Поскольку график функции открывается вверх, это означает, что функция будет убывать на интервале от \(-\infty\) до вершины параболы и отсюда до \(+\infty\).

Итак, область значений функции \(y = 6 + 4x - 2x^2\) - все действительные числа. Функция убывает на интервалах \((-\infty, 1)\) и \((1, +\infty)\).