Какая скорость будет у комка пластилина после полностью неупругого соударения двух шариков? Варианты ответа: 1

Барбос

46

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.

Первый шарик имеет массу \( m_1 \) и скорость \( v_1 \), второй шарик имеет массу \( m_2 \) и скорость \( v_2 \). После неупругого соударения оба шарика сливаются в один комок пластилина массой \( M \) и получают общую скорость \( v \).

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов до соударения равна сумме импульсов после соударения. Импульс \( p \) равен произведению массы на скорость: \( p = m \cdot v \).

Составим уравнение по закону сохранения импульса для данной задачи:
\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = M \cdot v \]

Также воспользуемся законом сохранения энергии. Перед соударением оба шарика имели кинетическую энергию, равную сумме кинетических энергий шариков после изменения их скорости. Поэтому энергия до соударения равна энергии после соударения.

Составим уравнение по закону сохранения энергии для этой задачи:
\[ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot v^2 \]

Теперь решим данную систему уравнений. Для этого сначала выразим скорость \( v \) через \( v_1 \) и \( v_2 \):

\[ M \cdot v = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \]
\[ v = \frac{{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}}{{M}} \]

Подставим это значение скорости \( v \) в уравнение сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot \left(\frac{{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}}{{M}}\right)^2 \]

Можно произвести несколько алгебраических преобразований и упростить уравнение:

\[ m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2 = \frac{{(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2)^2}}{{M}} \]

Вынесем общий множитель \(M\) из знаменателя и перенесем все члены уравнения влево:

\[ m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2 - \frac{{(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2)^2}}{{M}} = 0 \]

Дальше мы можем преобразовать это квадратное уравнение:

\[ (m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2)^2 - M \cdot (m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (m_1^2 \cdot v_1^2 + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 + m_2^2 \cdot v_2^2) - M \cdot (m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2) = 0 \]

Теперь соберем все члены уравнения вместе и приведем подобные:

\[ m_1^2 \cdot v_1^2 + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 + m_2^2 \cdot v_2^2 - M \cdot m_1 \cdot v_1^2 - M \cdot m_2 \cdot v_2^2 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ m_1^2 \cdot v_1^2 - M \cdot m_1 \cdot v_1^2 + m_2^2 \cdot v_2^2 - M \cdot m_2 \cdot v_2^2 + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ v_1^2 \cdot (m_1^2 - M \cdot m_1) + v_2^2 \cdot (m_2^2 - M \cdot m_2) + 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 = 0 \]

Приведем подобные и разделим все на 2:

\[ \frac{1}{2} \cdot v_1^2 \cdot (m_1^2 - M \cdot m_1) + \frac{1}{2} \cdot v_2^2 \cdot (m_2^2 - M \cdot m_2) + m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 = 0 \]

Поделим обе части уравнения на \( v_1 \cdot v_2 \) для удобства:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_1 \cdot (m_1^2 - M \cdot m_1)}}{{v_1 \cdot v_2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_2 \cdot (m_2^2 - M \cdot m_2)}}{{v_1 \cdot v_2}} + \frac{{m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2}}{{v_1 \cdot v_2}} = 0 \]

Данные выражения \( \frac{{v_1 \cdot (m_1^2 - M \cdot m_1)}}{{v_1 \cdot v_2}} \) и \( \frac{{v_2 \cdot (m_2^2 - M \cdot m_2)}}{{v_1 \cdot v_2}} \) можно упростить:

\[ \frac{{m_1^2}}{{v_2}} - \frac{{M \cdot m_1}}{{v_2}} + \frac{{m_2^2}}{{v_1}} - \frac{{M \cdot m_2}}{{v_1}} + m_1 \cdot m_2 = 0 \]

Теперь перенесем некоторые члены на другую сторону:

\[ \frac{{m_1^2}}{{v_2}} + \frac{{m_2^2}}{{v_1}} + m_1 \cdot m_2 = \frac{{M \cdot m_1}}{{v_2}} + \frac{{M \cdot m_2}}{{v_1}} \]

Воспользуемся фактом, что \( M = m_1 + m_2 \):

\[ \frac{{m_1^2}}{{v_2}} + \frac{{m_2^2}}{{v_1}} + m_1 \cdot m_2 = \frac{{m_1 \cdot (m_1 + m_2)}}{{v_2}} + \frac{{m_2 \cdot (m_1 + m_2)}}{{v_1}} \]

Разделим числитель и знаменатель дробей на \( m_1 \cdot m_2 \):

\[ \frac{{m_1}}{{m_2 \cdot v_2}} + \frac{{m_2}}{{m_1 \cdot v_1}} + 1 = \frac{{m_1 + m_2}}{{v_2}} + \frac{{m_1 + m_2}}{{v_1}} \]

Умножим каждую дробь на \( v_1 \cdot v_2 \):

\[ v_1 + v_2 + v_1 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{{v_2}}{{m_2}} + \frac{{v_1}}{{m_1}}\right) \]

Обратимся к формуле для скорости:

\[ v = \frac{{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}}{{M}} \]

Подставим это значение скорости \( v \) в полученное равенство:

\[ v_1 + v_2 + v_1 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot \left(\frac{{v_2}}{{m_2}} + \frac{{v_1}}{{m_1}}\right) \]

Введем дополнительное обозначение:

\[ a = \frac{{m_1 + m_2}}{{m_2}} \]

Тогда можем записать уравнение в следующем виде:

\[ v_1 + v_2 + v_1 \cdot v_2 = a \cdot \left(\frac{{v_2}}{{m_2}} + \frac{{v_1}}{{m_1}}\right) \]

Теперь разделим обе части уравнения на \( a \):

\[ \frac{{v_1}}{{a}} + \frac{{v_2}}{{a}} + \frac{{v_1}}{{a}} \cdot v_2 = \frac{{v_2}}{{m_2}} + \frac{{v_1}}{{m_1}} \]

\[ \frac{{v_1}}{{a}} \cdot v_2 + \frac{{v_2}}{{a}} = \frac{{v_2}}{{m_2}} + \frac{{v_1}}{{m_1}} - \frac{{v_1}}{{a}} \]

\[ v_2 \cdot \left(\frac{{v_1}}{{a}} + \frac{1}{{m_2}}\right) = v_1 \cdot \left(\frac{1}{{m_1}} - \frac{{1}}{{a}}\right) \]

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot \left(\frac{1}{{m_1}} - \frac{1}{{a}}\right)}}{{\frac{{v_1}}{{a}} + \frac{1}{{m_2}}}} \]

\[ v_2 = \frac{{v_1}}{{\frac{{v_1}}{{m_1}} - \frac{{v_1}}{{a}} + \frac{1}{{m_2}}}} \]

\[ v_2 = \frac{{v_1}}{{\frac{{a \cdot v_1 - v_1 + m_1}}{{m_1 \cdot m_2}}}} \]

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{a \cdot (v_1 \cdot m_1 - v_1 + m_1)}} \]

Теперь можем подставить значение \( a \):

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{\frac{{m_1 + m_2}}{{m_2}} \cdot (v_1 \cdot m_1 - v_1 + m_1)}} \]

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{m_1 + m_2 - v_1 \cdot m_2 + m_2}} \]

Упростим:

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{m_1 + m_2 + m_2 - v_1 \cdot m_2}} \]
\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot m_1 \cdot m_2}}{{m_1 + 2 \cdot m_2 - v_1 \cdot m_2}} \]

Теперь можем подставить числовые значения \( m_1 \) и \( m_2 \):

\[ v_2 = \frac{{v_1 \cdot 1 \cdot 2}}{{1 + 2 - v_1 \cdot 2}} \]
\[ v_2 = \frac{{2 \cdot v_1}}{{3 - 2 \cdot v_1}} \]

Таким образом, скорость \( v_2 \) комка пластилина после полностью неупругого соударения двух шариков будет равна \(\frac{{2 \cdot v_1}}{{3 - 2 \cdot v_1}}\).

Теперь, чтобы определить, какой вариант ответа выбрать, подставим различные значения \(v_1\) в полученную формулу.
1) При \(v_1 = 0\), получаем \(v_2 = 0\), что не соответствует никакому из вариантов ответа.
2) При \(v_1 = \frac{{3}}{{2}}\), получаем \(v_2 = \frac{{2}}{{5}}\cdot\frac{{3}}{{2}} = \frac{{3}}{{5}}\), что соответствует варианту ответа 2.
3) При \(v_1 = \frac{{3}}{{4}}\), получаем \(v_2 = \frac{{2}}{{5}}\cdot\frac{{3}}{{4}} = \frac{{3}}{{10}}\), что не соответствует никакому из вариантов ответа.
4) При \(v_1 = \frac{{3}}{{8}}\), получаем \(v_2 = \frac{{2}}{{5}}\cdot\frac{{3}}{{8}} = \frac{{3}}{{20}}\), что не соответствует никакому из вариантов ответа.

Итак, при \(v_1 = \frac{{3}}{{2}}\) скорость комка пластилина после соударения будет равна \(\frac{{3}}{{5}}\), что соответствует варианту ответа 2.

Таким образом, правильным ответом является вариант 2) \(v/5\).