Какая скорость моторной лодки относительно воды, если она проплыла по течению реки 90 км и вернулась назад, затратив

Petr

24

Чтобы решить эту задачу, давайте введем следующие обозначения. Пусть \(v\) - скорость моторной лодки относительно воды, а \(r\) - скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее эффективная скорость равна сумме скорости лодки и скорости течения. То есть, скорость лодки относительно земли будет равна \(v + r\).

Когда лодка плывет против течения, эффективная скорость становится разностью скорости лодки и скорости течения. То есть, скорость лодки относительно земли будет равна \(v - r\).

Теперь мы можем составить уравнение, используя формулу \(Скорость = \frac{Расстояние}{Время}\).

При движении по течению лодка проходит расстояние 90 км со скоростью \(v + r\). Затем, при движении против течения, она проходит ту же самую дистанцию со скоростью \(v - r\). Таким образом, общее время пути составляет 12 часов.

Мы можем записать следующее уравнение, используя данную информацию:

\[\frac{90}{v + r} + \frac{90}{v - r} = 12\]

Теперь давайте решим это уравнение. Если выражения в числителях долей не являются целыми числами, давайте умножим все выражение на наименьшее общее кратное знаменателей для упрощения.

Наименьшее общее кратное знаменателей \((v + r)\) и \((v - r)\) равно \((v + r)(v - r)\).

После упрощения получим:

\[90(v - r) + 90(v + r) = 12(v + r)(v - r)\]

Раскроем скобки:

\[90v - 90r + 90v + 90r = 12(v^2 - r^2)\]

Сократим подобные слагаемые:

\[180v = 12(v^2 - r^2)\]

Упростим дальше:

\[180v = 12v^2 - 12r^2\]

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

\[12v^2 - 180v - 12r^2 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем сократить общий множитель 12:

\[v^2 - 15v - r^2 = 0\]

Используем квадратное уравнение для решения:

\[v = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-r^2)}}{2 \cdot 1}\]

Упростим это выражение:

\[v = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 4r^2}}{2}\]

Таким образом, скорость моторной лодки относительно воды будет равна \(v = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 4r^2}}{2}\) где \(r\) - скорость течения реки.

Мы не знаем конкретное значение скорости течения реки в этой задаче, поэтому мы не можем точно определить скорость лодки относительно воды. Однако, мы можем использовать это выражение, чтобы найти значение скорости в зависимости от конкретных данных задачи.