Какая точка на оси x нужна для образования прямоугольного треугольника abm с гипотенузой am? Известно, что координаты

Луна_В_Омуте

62

Чтобы найти точку M на оси x для образования прямоугольного треугольника ABM с гипотенузой AM, нам нужно использовать свойство прямоугольного треугольника, которое гласит, что произведение длин катетов равно квадрату длины гипотенузы.

Для начала найдем длину гипотенузы AM с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние между точками A(3;-1;2) и M(x;0;0) можно вычислить по следующей формуле:

\[AM = \sqrt{(x - 3)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2}\]

Теперь, вернемся к свойству прямоугольного треугольника:

\[AB^2 = AM^2 - BM^2\]

Так как точка B имеет координаты (2;1;-4), то BM равно разности координат x и y точек B и M:

\[BM = 2 - x\]

Подставим выражение для AM и BM в формулу свойства прямоугольного треугольника:

\[AB^2 = [(x - 3)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - 0)^2] - (2 - x)^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\[AB^2 = (x^2 - 6x + 9 + 1 + 4) - (4 - 4x + x^2)\]

\[AB^2 = x^2 - 6x + 14 - 4 + 4x - x^2\]

\[AB^2 = -2x + 10\]

Теперь у нас есть выражение для квадрата длины стороны AB. Нам нужно, чтобы AB было равно 0, потому что мы ищем точку M, в которой гипотенуза AM становится стороной треугольника ABM:

\[AB^2 = -2x + 10 = 0\]

Перенесем -2x на другую сторону уравнения:

\[-2x = -10\]

Разделим обе части уравнения на -2:

\[x = \frac{-10}{-2} = 5\]

Таким образом, для образования прямоугольного треугольника ABM с гипотенузой AM нам нужна точка M с координатой x равной 5.