Какая угловая скорость ω и в каком направлении вращается блок, закрепленный на тележке, при движении тележки вправо

Геннадий

19

Для решения данной задачи нам потребуется принять во внимание законы сохранения момента импульса и энергии.

Итак, у нас есть блок, закрепленный на тележке, и второй блок с прикрепленным к нему телом. Первый блок имеет угловую скорость \(\omega\), а тележка движется вправо со скоростью \(v_1\). Второй блок движется вниз со скоростью \(v_2\).

Блок и тележка связаны нерастяжимой веревкой, поэтому их угловые скорости равны друг другу: \(\omega_1 = \omega_2 = \omega\).

Закон сохранения момента импульса нам говорит, что момент импульса системы до и после действия внешних сил должен оставаться постоянным.

До действия внешних сил момент импульса системы равен сумме моментов импульса блока и тележки: \(L_{\text{нач}} = I_1 \cdot \omega + I_2 \cdot \omega\), где \(I_1\) и \(I_2\) - моменты инерции блока и тележки соответственно.

После действия внешних сил момент импульса системы будет равен: \(L_{\text{кон}} = (I_1 + I_2) \cdot \omega"\), где \(\omega"\) - угловая скорость блока и тележки после действия внешних сил.

Таким образом, согласно закону сохранения момента импульса, получаем уравнение:

\[I_1 \cdot \omega + I_2 \cdot \omega = (I_1 + I_2) \cdot \omega"\]

Теперь обратимся к закону сохранения энергии. Изначально система имеет как потенциальную, так и кинетическую энергию. При движении тележки вправо кинетическая энергия будет преобразовываться в потенциальную энергию блока и второго подвижного тела.

Исходная кинетическая энергия системы \(K_{\text{нач}}\) равна:
\[K_{\text{нач}} = \frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2\]

Конечная потенциальная энергия системы \(U_{\text{кон}}\) равна:
\[U_{\text{кон}} = m \cdot g \cdot h\]

Где \(h\) - высота, на которую поднялось второе подвижное тело.

Согласно закону сохранения энергии, получаем уравнение:

\[K_{\text{нач}} = U_{\text{кон}}\]

После подстановки соответствующих формул и преобразований, получаем следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = m \cdot g \cdot h\]

Теперь имея два уравнения:

\[I_1 \cdot \omega + I_2 \cdot \omega = (I_1 + I_2) \cdot \omega"\]
\[\frac{1}{2} \cdot I_1 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot I_2 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = m \cdot g \cdot h\]

Мы можем решить эту систему уравнений относительно угловой скорости \(\omega\) и угловой скорости после действия внешних сил \(\omega"\).

После решения этой системы уравнений, мы можем определить значение угловой скорости \(\omega\) и направление вращения блока.