Какая высота будет достигнута шариком при аналогичном выстреле на планете Z, где ускорение свободного падения в

Ledyanoy_Vzryv

14

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы физики, связанные с вертикальным движением тела под действием гравитационного ускорения.

При вертикальном движении шарика под действием силы тяжести, его полная механическая энергия сохраняется. Используя этот принцип и учитывая, что начальная и конечная точки движения одинаковы (поверхность планеты), мы можем использовать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2}mv_i^2 + mgh_i = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f\],

где \(m\) - масса шарика, \(v_i\) - начальная скорость шарика, \(h_i\) - начальная высота (на Земле), \(v_f\) - конечная скорость шарика (равная 0 на максимальной высоте), \(h_f\) - конечная высота (на планете Z).

В данной задаче предполагается, что масса шарика не меняется, поэтому можно сократить \(m\) в уравнении:

\[\frac{1}{2}v_i^2 + gh_i = \frac{1}{2}v_f^2 + gh_f\].

Мы знаем, что на планете Z ускорение свободного падения в 5 раз больше, чем на Земле. Пусть \(g_Z\) будет ускорением свободного падения на планете Z, а \(g_{\text{Земля}}\) - на Земле. Тогда \(g_Z = 5 \cdot g_{\text{Земля}}\).

Таким образом, ускорение свободного падения на планете Z \(g_Z\) равно 5 разам \(g_{\text{Земля}}\).

Обозначив начальную высоту на Земле \(h_{i_{\text{Земля}}}\) (45 метров), а конечную высоту на планете Z \(h_{f_{\text{Z}}}\), получим равенство:

\[\frac{1}{2}v_i^2 + g_{\text{Земля}} \cdot h_{i_{\text{Земля}}} = \frac{1}{2}v_f^2 + g_{Z} \cdot h_{f_{\text{Z}}}\].

Нам нужно найти \(h_{f_{\text{Z}}}\), поэтому изначально сконцентрируемся на выражении, не содержащем эту неизвестную переменную. Мы знаем, что вертикальная начальная скорость движения шарика на Земле равна 0, поэтому \(v_i=0\). В этом случае уравнение принимает вид:

\[g_{\text{Земля}} \cdot h_{i_{\text{Земля}}} = \frac{1}{2}v_f^2 + g_{Z} \cdot h_{f_{Z}}\].

Выразим \(h_{f_{Z}}\):

\[h_{f_{Z}} = \frac{g_{\text{Земля}} \cdot h_{i_{\text{Земля}}} - \frac{1}{2}v_f^2}{g_{Z}}\].

Теперь, чтобы получить искомую высоту \(h_{f_{Z}}\), нам нужно знать конечную скорость \(v_f\). Мы можем найти её с использованием вертикального движения тела под действием гравитационного ускорения на Земле.

Используя второе уравнение Ньютона \(v_f = v_i + gt\), где \(g\) - ускорение свободного падения на Земле, а \(t\) - время достижения максимальной высоты (когда \(v_f\) равна 0), получаем:

\[0 = 0 + g_{\text{Земля}} \cdot t\].

Отсюда мы можем определить время \(t\) в вертикальном движении на Земле:

\[t = \frac{0}{g_{\text{Земля}}} = 0\].

Таким образом, на максимальной высоте \(v_f = 0\) и \(t = 0\).

Подставляя эти значения в наше выражение для \(h_f\), получаем:

\[h_{f_{Z}} = \frac{g_{\text{Земля}} \cdot h_{i_{\text{Земля}}} - \frac{1}{2} \cdot 0^2}{g_{Z}} = \frac{g_{\text{Земля}} \cdot h_{i_{\text{Земля}}}}{g_{Z}}\].

Теперь осталось только подставить численные значения. Пусть ускорение свободного падения на Земле \(g_{\text{Земля}}\) равно \(g_{\text{Земля}} = 9.8 \, \text{м/с}^2\), тогда ускорение на планете Z \(g_{Z}\) равно \(g_{Z} = 5 \cdot g_{\text{Земля}} = 5 \cdot 9.8 = 49 \, \text{м/с}^2\) (в силу условия задачи). Подставляем значения:

\[h_{f_{Z}} = \frac{9.8 \cdot 45}{49}\].

Вычисляя это выражение, получаем:

\[h_{f_{Z}} \approx 8.97 \, \text{метров}\].

Таким образом, шарик на планете Z при аналогичном выстреле достигнет высоты около 8.97 метров.