Какие будут скорости шаров u1 и u2 после удара, если шар, движущийся со скоростью v1=10 м/с, упруго сталкивается

Mister_642

7

Данная задача связана с применением законов сохранения импульса и энергии при упругом столкновении двух тел. Давайте разберемся подробнее.

Имеются два шара: шар 1, движущийся со скоростью \(v_1 = 10 \, \text{м/с}\), и шар 2, неподвижный (\(v_2 = 0\)). Масса шара 2 в \(n = 5\) раз больше массы шара 1.

Для начала, воспользуемся законом сохранения импульса. В упругом столкновении сумма импульсов до и после столкновения должна оставаться постоянной.

Импульс шара 1 до столкновения:
\[p_1 = m_1 \cdot v_1,\]
где \(m_1\) - масса шара 1, а \(v_1\) - его скорость.

Импульс шара 2 до столкновения:
\[p_2 = m_2 \cdot v_2,\]
где \(m_2\) - масса шара 2, а \(v_2\) - его скорость.

После столкновения, сумма импульсов опять же сохраняется:
\[p"_1 + p"_2 = p_1 + p_2,\]

где \(p"_1\) и \(p"_2\) - импульсы шаров 1 и 2 после столкновения.

Теперь, зная, что второй шар неподвижен (\(v_2 = 0\)), и связь масс шаров (\(m_2 = n \cdot m_1\)), мы можем записать уравнение:

\[(m_1 \cdot v_1)" + (m_2 \cdot v_2)" = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2.\]

Поскольку \(v_2 = 0\), уравнение упрощается до:

\[(m_1 \cdot v_1)" = m_1 \cdot v_1.\]

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. В упругом столкновении кинетическая энергия до и после столкновения также сохраняется.

Кинетическая энергия шара 1 до столкновения:
\[E_1 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2.\]

Кинетическая энергия шара 2 до столкновения:
\[E_2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2.\]

Аналогично, после столкновения:
\[E"_1 + E"_2 = E_1 + E_2.\]

В данном случае, поскольку шар 2 неподвижен (\(v_2 = 0\)), уравнение упрощается до:

\[\frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1")^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2.\]

Подставим \(m_2 = n \cdot m_1\) и \(v_2 = 0\) в уравнение сохранения импульса и уравнение сохранения энергии, получим систему уравнений:

\[\begin{cases} (m_1 \cdot v_1)" + (n \cdot m_1 \cdot v_2)" = m_1 \cdot v_1 + n \cdot m_1 \cdot v_2, \\ \frac{1}{2} m_1 \cdot (v_1")^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2. \end{cases}\]

Раскрыв скобки и учитывая, что \(v_2 = 0\), получим:

\[\begin{cases} (m_1 \cdot v_1)" = m_1 \cdot v_1, \\ (v_1")^2 = v_1^2. \end{cases}\]

Возведя обе части второго уравнения в квадрат, получим:

\[(v_1")^2 = v_1^2.\]

Таким образом, \(v_1" = v_1\) или \(v_1" = -v_1\), то есть после столкновения шар может двигаться в том же направлении (\(v_1"\), положительные значения) или в противоположном направлении (\(v_1"\), отрицательные значения).

Тогда, возвращаясь к задаче, получаем два возможных решения:

1) Если шар отклоняется в направлении, противоположном его первоначальному движению (\(v_1" = -v_1\)):

Для найденных значений имеем \(v_1" = -10 \, \text{м/с}\), а \(v_2 = 0\) (шар 2 остается неподвижным).

2) Если шар отклоняется в направлении, сонаправленном его первоначальному движению (\(v_1" = v_1\)):

Для найденных значений имеем \(v_1" = 10 \, \text{м/с}\), а \(v_2 = 0\) (шар 2 остается неподвижным).

Таким образом, скорость шара 1 после удара может быть равна 10 м/с или -10 м/с, а скорость шара 2 останется равной 0.