Какие числа должны заменить a, b, c, d, e, f, чтобы цепочка сравнений была верной

Якорь

53

Чтобы найти значения a, b, c, d, e, f, которые сделают цепочку сравнений верной, давайте рассмотрим каждую часть по отдельности и пошагово найдем значения.

1. 9^123 ≡ a^123 (mod 11):
Мы знаем, что \(9^{10} \equiv 1\) (mod 11) по малой теореме Ферма. Поэтому мы можем переписать левую сторону сравнения:
\(9^{123} \equiv (9^{10})^{12} \cdot 9^3 \equiv 1^{12} \cdot 9^3 \equiv 9^3\) (mod 11).

Таким образом, \(9^3 \equiv a^{123}\) (mod 11). Чтобы найти значение a, возведем 9 в куб и найдем остаток от деления на 11:
\(9^3 = 729\) (mod 11), \(729 \equiv 2\) (mod 11).

Таким образом, значение a равно 2.

2. a^123 ≡ -b^123 (mod 11):
Поскольку мы уже нашли значение a (=2), мы можем переписать это сравнение: \(2^{123} \equiv -b^{123}\) (mod 11).

3. -b^123 ≡ -(b^5)^24⋅b^c (mod 11):
Продолжая цепочку сравнений, мы видим, что \(-(b^5)^{24} \cdot b^c \equiv -d^{24} \cdot e\) (mod 11).

4. -d^24⋅e ≡ f (mod 11):
Для завершения цепочки сравнений, дано, что \(-d^{24} \cdot e \equiv f\) (mod 11).

Найдем значения для каждого символа:

Для a: \(a = 2\) (уже найдено из первого сравнения).
Для b: \(b = 9\) (так как \(2^{123} \equiv -9^{123}\) (mod 11)).
Для c: \(c\) - любое целое число, так как в данном сравнении просто указывается, что оно существует.
Для d: \(d\) - любое целое число, так как в данном сравнении просто указывается, что оно существует.
Для e: \(e\) - любое целое число, так как в данном сравнении просто указывается, что оно существует.
Для f: \(f\) - любое целое число, так как в данном сравнении просто указывается, что оно существует.

Таким образом, мы можем выбрать любые значения для c, d, e и f, чтобы сделать данную цепочку сравнений верной.